5、哈密顿力学：从理论到应用的深入剖析

哈密顿力学：从理论到应用的深入剖析

1. 哈密顿形式简介

在拉格朗日表述的基础上，威廉·罗恩·哈密顿开创了一个新的、更有效的理论框架——哈密顿形式。该形式不仅有助于解决复杂的问题，还能加深我们对理论运作机制的理解。其核心思想是对独立变量进行变换，不再使用 $q$ 和 $\dot{q}$，而是采用 $q_i$ 和 $p_i = \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}$。

初看之下，这似乎并非全新的概念。在笛卡尔坐标系中，质点的速度和动量是成比例的，即 $\vec{p} = m\frac{d\vec{x}}{dt}$。然而，当使用其他拉格朗日坐标时，动量和速度之间就不存在这种简单的关系，引入矢量势时情况会更加复杂。

从独立变量 $\dot{q} i$ 到 $p_i$ 的变换是一个勒让德变换，定义哈密顿量为：
[H(p, q, t) = \sum {i} p_i \dot{q}_i - L(q, \dot{q}, t)]
其中，哈密顿量 $H(p, q, t)$ 不依赖于速度，满足 $\frac{\partial H}{\partial \dot{q}_k} = p_k - \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_k} = 0$。

若拉格朗日量 $L$ 不显含时间，根据相关理论可知 $H = E$ 为能量，且在系统的物理演化过程中能量守恒。此时，哈密顿量可视为能量关于 $q$ 和 $p$ 的函数。

2. 哈密顿方程的推导

哈密顿从变分原理 $\delta S = 0$ 推导出了运动方程，其中作用量 $S$ 现在是路径 $p(t)