二叉树的遍历

最新推荐文章于 2024-10-21 08:57:50 发布

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#二叉树 #递归 #遍历

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二叉树的遍历主要有3种模式，前序，中序和后序。其递归版本，非常简单，大致如下：

void Traversal(TreeNode* root){
    if(!root)
        return;
    // visit root (preorder)
    Traversal(root->left);
    // visit root (inorder)
    Traversal(root->right);
    // visit root (postorder)
}

根据要求不同，分别在对应地方访问节点就可以了。

但是一方面，这种递归版本由于函数调用会影响效率，另一方面面试时很多面试官会让你转化成非递归版本。本来说不难，但是为了给面试官留下好印象，还是要非常熟悉这一套的，要求0失误快速写出来。

非递归版本：

由于是递归转非递归，因此肯定会用到栈，即用栈去模拟计算机函数调用的过程。

前序遍历非常容易模拟，因为root先于其左右子树被访问，因此每次从栈顶取到root后直接访问，然后将其右儿子和左儿子依次压入栈中就可以了(注意先压右儿子，因为按照栈是FILO，所以右儿子会被后访问到)。

 vector<int> preorderTraversal(TreeNode *root) {
        vector<int> ans;
        if(root == NULL)
            return ans;

        stack<TreeNode*> st;
        st.emplace(root);

        while(!st.empty()){
            //访问root
            TreeNode * tmp = st.top();
            st.pop();
            ans.emplace_back(tmp->val);

            //先压右儿子
            if(tmp->right != NULL) st.emplace(tmp->right);
            //再压左儿子
            if(tmp->left != NULL) st.emplace(tmp->left);
        }
        return ans;
    }

但是到了中序和后序遍历就稍微麻烦一点了，因为root并不是第一个被访问到，因此当我们从栈顶弹出root时，会遇到一个麻烦，即它是第一次被访问到，还是已经访问完它的左右子树了呢？

如果是第一次被访问到，显然现在我们还不能正式遍历它，而是要先遍历它的子树，那么这个时候我们就需要把它暂时放回到栈中，等遍历完它的子树后，再从栈中把它取出来遍历。那么如何判断它的左右子树被遍历到，当然我们可以给每个节点加一个变量来标记它是否已经被遍历过；或者利用C++中的pair作为栈的基本元素, 除了在栈中记录节点，同时在栈中记录每个节点进出栈的次数，通过进出栈的次数决定它的左右子树是否被遍历完了。

但是不论哪种方法，都要利用额外的空间，显然这样做虽然能行，但是不够好。当然有更好的解决办法。

下面我们先考虑中序遍历，当我们拿到一个节点root时：

显然最先遍历的是它的左子树(记为 $T_1$ ， $T_1$ 的根记为 $l_1$ )，然后才回来访问root和root的右子树；
而当我们第一次访问子树 $T_1$ ，应该先遍历它的左子树(记为 $T_2$ ， $T_2$ 的根记为 $l_2$ )，然后才是 $l_1$ 和它的右子树
以此类推，每次都是先遍历节点的左子树，然后才是节点本身

那么既然这样，我们拿到一个节点root后先按顺序将它以及 $l_1, l_2, \dots , l_h$ 压入栈中。然后再从栈中取出元素，这时栈顶元素一定是树中最左下角的元素 $l_h$ ，此时我们遍历它，然后开始遍历 $l_h$ 的右子树就可以了。当访问完 $l_h$ 的右子树时，我们再从栈顶弹出元素，这个元素按照我们的压栈顺序一定是 $l_h$ 的父节点 $l_{h-1}$ ，而此时由于以 $l_h$ 为根的子树恰好刚遍历完，即 $l_{h-1}$ 的左子树遍历完了，自然我们就需要遍历 $l_{h-1}$ ,然后再遍历 $l_{h-1}$ 的右子树就可以了。

以此类推，这样我们就可以完成中序遍历。

vector<int> inorderTraversal(TreeNode *root) {
        vector<int> ans;

        TreeNode* t = root;
        stack<TreeNode* > st;
        while(t != NULL || !st.empty()){
            //如果t不空，将t左边的后代(即l1,l2...)依次压入栈中
            while( t != NULL){
                st.emplace(t);
                t = t->left;
            }
            if(!st.empty()){
                //此时栈顶元素的左子树一定遍历完了，那么我们开始遍历栈顶元素
                t = st.top();
                st.pop();
                ans.emplace_back(t->val);

                //然后开始遍历栈顶元素的右子树
                t = t->right;
            }
        }
        return ans;
    }

最后是后序遍历，还是用压栈的方法，但是比上面简单但又巧妙很多。由于后序遍历的特点是节点本身最后被访问到，这样就给了我们一个简单的方法判断某个节点root的左右子树是否被遍历到：

因为我们想遍历root时，一定是其右子树被遍历完的时候。而遍历右子树时，最后遍历到的一定是右子树的根，即root的右儿子。此时我们只需要一个变量pre, 用来记录之前遍历的那个节点,。然后和root的右儿子做一下比较，如果两者相同，说明右子树已经遍历完，这时我们直接遍历root就可以了。当然遇到root没有右儿子时，说明右子树为空，这样我们就要拿pre和root的左儿子比较。如果root连左儿子都没有，那么说明它是叶子节点，直接访问就可以了。

vector<int> postorderTraversal(TreeNode *root) {
        vector<int> ans;
        if(root == NULL)
            return ans;

        //pre表示之前遍历到的那个节点
        TreeNode *pre = NULL, *tmp;

        stack<TreeNode* >st;
        st.emplace(root);

        while(!st.empty()){
            tmp = st.top();
            //如果pre等于tmp的右儿子;或者没有右儿子的情况下，pre等于其左儿子，或者甚至连左儿子都没有。说明tmp的左右子树已经访问完了，那么我们开始访问tmp，并更新pre
            if( (tmp->right != NULL && tmp->right == pre) ||
                (tmp->right == NULL && (tmp->left == pre ||
                tmp->left == NULL)) ){

                pre = tmp;
                st.pop();
                ans.emplace_back(tmp->val);
            }
            //否则将tmp的右儿子和左儿子加入栈中
            else{
                if(tmp->right != NULL) st.emplace(tmp->right);
                if(tmp->left != NULL) st.emplace(tmp->left);
            }
        }
        return ans;
    }

除了上面这些方法，还有其他用栈模拟的，这里不再冗述。不过需要指的提一下的是，如果允许遍历时修改节点指针，只要保证遍历完之后能恢复原状，那么可以不用栈就完成遍历，即O（1）的空间，具体的方法就是Morris Traversal，有兴趣的同学自己去看看吧，这种方法能够在空间要求极为严格的情况下，完成二叉树的搜索。