01背包 hiho一下第 6 周

最新推荐文章于 2019-05-23 14:36:35 发布

Alba_126

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本文详细解析了经典的01背包问题，介绍了基本的解决思路及状态转移方程，并通过优化减少了空间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题意： 经典的 01 背包问题

思路： 基本的做法是用 best[i][j] 表示前 i 个奖品在奖券小于等于 j 的情况下能达到的最大喜好值。每个奖品都有取或不取两种状态，取的时候奖券变少，喜好值增加；不取的时候奖券和喜好值都不变。所以此时的状态转移方程式为

b e s t [i] [j] = m a x (b e s t [i - 1] [j], b e s t [i - 1] [j - n e e d (i)] + v a l u e [i])

$best[i][j] = max(best[i-1][j], best[i-1][j-need(i)]+value[i])$
写成代码为：

memset(best[0], 0, sizeof(best[0]));
for(int i=1; i<=N; i++){
    for(int j=0; j<=M; j++){
        if(j < need[i]) best[i][j] = best[i-1][j];
        else best[i][j] = max(best[i-1][j], best[i-1][j-need[i]]+value[i]);
    }
}

由状态转移式我们可以看出求 best[i][j] 时只与第 i-1 行有关系，所以这里继续进行优化以减少空间。
当我们把第二层循环反过来时，也就是从 M 到 0 进行遍历时，会发现 best[i][j] 的值是从右往左计算的，而计算时只与当前位置的 best[i-1][j] 和左边的 best[i-1][j-need[i]] 有关，所以这边又可以进行空间上的优化，使得只需要 $O(M)$ 的空间复杂度。
又从 need[i] 遍历到 0 时 best[i][j] 的值就等于 best[i-1][j] 的值，所以可以不需要进行遍历。
优化的代码见下列程序。

代码：

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<stack>
#include<queue>
#include<utility>
#include<vector>
#include<cmath>
#include<set>
#include<map>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<sstream>
using namespace std;
typedef long long LL;

int N, M;
int need[550];
int value[550];
int best[100010];

int main()
{
    while(scanf("%d%d", &N, &M) == 2){
        for(int i=1; i<=N; i++){
            scanf("%d%d", &need[i], &value[i]);
        }

        memset(best, 0, sizeof(best));
        for(int i=1; i<=N; i++){
            for(int j=M; j>=need[i]; j--){
                best[j] = max(best[j], best[j-need[i]]+value[i]);
            }
        }

        printf("%d\n", best[M]);
    }
    return 0;
}