树状数组模板

树状数组

提出问题：给定一串数长度为n，有m次询问，，每次询问[ l ~ r ]区间求和。

思路1：前缀和预处理。

新问题：

• 每次询问[ l ~ r ]区间和 （区间查询）
• 修改序列a中某一个元素的值 (单点修改)

1. 若采用前缀和思路，每次修改元素的值后都需要更新前缀和数组，复杂度达到$O(n^2) $级别。
2. 树状数组和线段树可以达到单次操作O($log(n)$)级别，总体复杂度$O(n\log (n))$

应用

一般用于维护可差分信息,不可差分信息一般用线段树维护。

思想

• 二进制拆分

树状数组下标管辖范围：下标二进制最右侧1拆掉加1到自己下标。例如：t[4]:0001~00100 = 1~4.t[12] : 001001~001100 = 9 ~12.

操作

求区间和

• 求（1 ~ i）区间和：例如：s[1 ~ 15] : t[1111] + t[1110] + t[1100] + t[1000] = a[15] + a[13 ~ 14] + a[9 ~ 12] + a[1 ~ 8];

• 求 （l ~ r）区间和 ： 求出sum1 = （1 ~ r）累加和 ，sum2 = （1 ~ l -1 ）累加和 , sum = sum1 - sum2.

add(int i)方法

• 找到所有管辖该下标的点
• 每次找到最右侧1相加
• 例如 1 位置 + 3：t[00001] + 3, t[00010] + 3 , t[00100] + 3 , t[01000] + 3 , t[ 10000] + 3 ***** 直到超出范围

区间加值

利用差分思想，把s[N]数组想象成原数组的差分数组，构造一个change2函数，在某区间内+c;

查询单点

差分思想，该点的值就是差分数列的前缀和。

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N  = 5e5+10;

int s[N];
int n;


int lowbit(int x)
{
    return x & -x;
}

void change(int x , int k)
{
    while(x <= n)
    {
        s[x] += k;
        x += lowbit(x); 
    }
}

int query(int x)
{
    int res = 0;
    while(x)
    {
        res += s[x];
        x -= lowbit(x);
    }
    return res;
}


void change2(int l ,int r , int k)
{   
    change(l , k);
    change(r + 1, -k);
}



int main()
{
    int m;
    cin >> n >> m;
    //构造s数组
    for(int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int k ;cin >> k;
        change2(i, i,k);

    }
    
    while(m --)
    {
        int op; cin >> op;
        if(op == 1)
        {
            int x ,y, k; cin >> x >> y >> k;
            change2(x , y,k);
        }else
        {
            int x;
            cin >> x;
            cout << query(x) <<endl;
        }
    }


    return 0;
}