快速幂

快速幂算法详解与实现

最新推荐文章于 2025-08-19 14:14:08 发布

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本文深入探讨快速幂算法的原理及其多种实现方式，包括直接展开、取模优化、迭代优化等，旨在提高求解(a^b mod c)的效率。

本文主要讲述快速幂的得到：计算(a^b)%c :
代码一

#include<stdio.h>

int main(void)
{
    int ans=1;
    int a;
    int i;
    int b;
    int c;

    scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);

    for (i = 1; i <= b; i++)
    {
        ans = ans*a;
    }

    printf("%d",ans%c);

    getchar();
    getchar();
    return 0;
}

这种方法是直接按照公式展开的，效率低，

代码二：

//(a^b)%c=(a%c)^b%c
#include<stdio.h>

int main(void)
{
    int ans = 1;
    int a;
    int i;
    int b;
    int c;

    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

    a = a%c;//先对a进行取余运算

    for (i = 1; i <= b; i++)
    {
        ans = ans*a;
    }

    printf("%d\n", ans%c);//最后再对乘方的结果进行取余运算

    getchar();
    getchar();
    return 0;
}

代码三：

//(a^b)%c=(a%c)^b%c
#include<stdio.h>

int main(void)
{
    int ans = 1;
    int a;
    int i;
    int b;
    int c;

    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

    a = a%c;//先对a进行取余运算

    for (i = 1; i <= b; i++)
    {
        ans = ( ans * a ) % c;//此处对乘积的因子取余，结果并不改变

    }

    printf("%d\n", ans%c);//最后再对乘方的结果进行取余运算

    getchar();
    getchar();
    return 0;
}

代码四：

//快速幂
//a^b%c=((a^2)^(b/2))%c偶数
//a^b%c=((a^2)^(b/2)*a)%c奇数
#include<stdio.h>

int main(void)
{
    int ans = 1;
    int a;
    int i;
    int b;
    int c;
    int k;

    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

    if (b % 2 == 1)//检验奇偶性
    {
        ans = (ans*a) % c;//奇数要多算一次
    }

    k = (a*a) % c;//算k

    for (i = 1; i <= b/2; i++)
    {
        ans = (ans * k) % c;
    }

    printf("%d\n", ans%c);//最后还要取一次余

    getchar();
    getchar();
    return 0;
}

代码五，便是我们常用的快速幂算法模板：

/*但我们可以看到，当我们令k = (a * a) mod c时，状态已经发生了变化，
我们所要求的最终结果即为(k)b/2 mod c而不是原来的ab mod c，所以我们发现这个过程是可以迭代下去的。
当然，对于奇数的情形会多出一项a mod c，所以为了完成迭代，当b是奇数时，我们通过
ans = (ans * a) % c;来弥补多出来的这一项，此时剩余的部分就可以进行迭代了。 
形如上式的迭代下去后，当b=0时，所有的因子都已经相乘，算法结束。
于是便可以在O（log b）的时间内完成了。于是，有了最终的算法：快速幂算法。
*/
#include<stdio.h>

int main(void)
{
    int ans = 1;
    int a;
    int i;
    int b;
    int c;
    int k;

    scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);

    a = a%c;//先进行一步取余操作

    while (b > 0)
    {
        if (b % 2 == 1)//如果为奇数的话
        {
            ans = (ans*a) % c;//多一步
        }

        b = b / 2;//迭代b/2

        a = (a*a) % c;//迭代
    }

    printf("%d\n", ans%c);//最后以后还要进行一次取余操作

    getchar();
    getchar();
    return 0;
}