错位禁位排列-数学

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【同等学力】03-错位排列问题
super_mochi1
01-11 511
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《中学数学》排列组合问题之：错位重排（python实现）
敲代码的小风
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限制排列与棋盘多项式
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首先来说说限制排列   例子： 相邻禁位排列问题：在整数1，2，3，...，n的无重全排列中，要求，求全体排列数   分析：利用容斥不难得到     旋转木马问题：8个小孩围坐在旋转木马上，问有多少种变换座位的方法，使得每个小孩前面坐的都不是原来的小孩？ 分析：其实做法跟上面的方法一样，只是注意这里是换排列，那么总数就应该是7！，得到结果为：       棋盘多项式：
zoj-3687-The Review Plan I(禁位排序)
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题目链接：传送门The Review Plan I Time Limit: 5 Seconds Memory Limit: 65536 KB Michael takes the Discrete Mathematics course in this semester. Now it’s close to the final exam, and he wants to take a co
棋盘多项式与有禁区的排列
人总是要有梦想的QAQ的博客
04-03 1171
容斥原理 带禁止位的排列
可视化和机器学习
07-17 1911
带禁止 看这个课件特别详细 http://www.docin.com/p-382205465.html
ZOJ 3687 The Review Plan I 禁位排列 | 容斥原理
wood
08-24 778
题目链接 Michael takes the Discrete Mathematics course in this semester. Now it's close to the final exam, and he wants to take a complete review of this course.The whole book he needs to review has N chap
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高中数学公式大全-8-排列组合
01-22
本节内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列数公式、排列恒等式、组合数公式、组合数的两个性质、组合恒等式、排列数与组合数的关系、单条件排列、分配问题和“错位问题”及其推广等知识点。 1.分类计数原理...
基于DNA自组装的全错位排列问题模型
06-23
全错位排列问题是一种NP完全问题，它在计算领域内是寻找一种元素排列方式，使得每个元素都不在它原有的位置上。这种问题在数学和计算机科学中广泛存在，与著名的“排列问题”或“置换问题”相关。然而，由于NP完全...
基于分子信标的全错位排列问题的DNA计算模型
06-23
全错位排列问题是组合数学的一个重要的问题,将问题转化成范式的形式,利用分子信标对满足性问题进行求解,给分子信标进行编码,对分子信标的识别区被其补链杂交时进行受力分析,设计分子信标的茎杆,当其识别区被其补链...
关于装错信封问题的探讨
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关于装错信封问题的探讨，刘学智，，本文用递推的方法导出了Bernoulli-Euler装错信封问题的通项公式，并探讨了极限情况下的结果，最后结合误差分析得到了一个简洁优美的公
zoj 3688 The Review Plan II(容斥原理+禁位排列+逆元)
Eiffel的博客
08-18 459
The Review Plan II Michael is very grateful for your last help of his review plan. Now he finds that it's interesting to do the review in a different way than ordinary students, he wants yo
组队赛4解题报告（组合数学+禁位排列+容斥原理+精度进位+贪心背包+矩阵快速幂）
liwei的专栏
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B题：ZOJ 3687  链接：http://acm.zju.edu.cn/onlinejudge/showProblem.do?problemId=4970 题意：在d天看不了c章，问复习的方案有多少种？ 思路：这题比赛的时候看出是组合数组和容斥原理了，不过不会做，所以一直托到现在了才做。而且自己又看别人的解题报告理解了一下午才理解明白……笨了…… 我在百度文库上已经知道错排和禁位排列是什
蓝桥杯-算法提高-棋盘多项式
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棋盘多项式 问题描述 　　八皇后问题是在棋 盘上放皇后，互相不攻击，求方案。变换一下棋子，还可以有八车问题，八马问题，八兵问题，八王问题，注意别念反。在这道题里，棋子换成车，同时棋盘也得 换，确切说，是进行一些改造。比如现在有一张n*n的棋盘，我们在一些格子上抠几个洞，这些洞自然不能放棋子了，会漏下去的。另外，一个车本来能攻击和它 的同行同列。现在，你想想，在攻击的过程中如果踩到一个洞，便会...
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阿豪
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17 棋盘多项式
内在的天空
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17 棋盘多项式 作者: turbo时间限制: 1S章节: 深度优先搜索 问题描述 : 八皇后问题是在棋盘上放皇后，互相不攻击，求方案。变换一下棋子，还可以有八车问题，八马问题，八兵问题，八王问题，注意别念反。在这道题里，棋子换成车，同时棋盘也得换，确切说，是进行一些改造。比如现在有一张n*n的棋盘，我们在一些格子上抠几个洞，这些洞自然不能放棋子了，会漏下去的。另外，一个车本来能攻击和它的同行同列...
棋盘多项式 递归搜索
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棋盘多项式 问题描述 　　八皇后问题是在棋 盘上放皇后，互相不攻击，求方案。变换一下棋子，还可以有八车问题，八马问题，八兵问题，八王问题，注意别念反。在这道题里，棋子换成车，同时棋盘也得 换，确切说，是进行一些改造。比如现在有一张n*n的棋盘，我们在一些格子上抠几个洞，这些洞自然不能放棋子了，会漏下去的。另外，一个车本来能攻击和它 的同行同列。现在，你想想，在攻击的过程中如果踩到一个洞，便会自取灭...
蓝桥杯 算法提高 棋盘多项式
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算法提高 棋盘多项式   时间限制：1.0s   内存限制：256.0MB      　　 　　棋盘多项式 问题描述 　　八皇后问题是在棋盘上放皇后，互相不攻击，求方案。变换一下棋子，还可以有八车问题，八马问题，八兵问题，八王问题，注意别念反。在这道题里，棋子换成车，同时棋盘也得换，确切说，是进行一些改造。比如现在有一张n*n的棋盘，我们在一些格子上抠几个
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错位排列递推公式
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<think>嗯，用户想了解错位排列的递推公式以及如何用算法实现。首先，我需要回忆一下错位排列的定义和递推公式。根据引用中的信息，欧拉给出了递推公式，f(n) = (n-1)*(f(n-1) + f(n-2))，对吧？那这个公式的推导过程是怎样的呢？比如，当新增第n个元素时，它不能放在第n位，所以有n-1种选择。假设它放在第i位，那么分两种情况：原来的第i个元素放到第n位，剩下的n-2个元素错位排列，也就是f(n-2)；或者原来的第i个元素不放到第n位，那么剩下的n-1个元素需要错位排列，即f(n-1)。这样两种情况相加，再乘以n-1种选择，得到递推式。 接下来，用户可能需要具体的算法实现。引用中的代码示例使用了动态规划的方法，初始化a[2]=1，a[3]=2，然后循环计算到n。要注意处理n=0或1的情况，返回0，对吗？比如当n=1时，没有错位排列的可能，所以结果为0。而n=2时，只有一种可能，交换两个元素。 用户可能还关心时间复杂度和空间复杂度。动态规划的方法时间复杂度是O(n)，空间复杂度也是O(n)，但如果只需要计算到某个n的值，可以优化空间，只保留前两个状态，这样空间复杂度变成O(1)。不过引用中的代码似乎用了数组来存储所有中间结果，可能更适合多次查询的情况，比如预处理后直接查表。 然后，用户的应用场景可能涉及组合数学问题，比如信封装错或者排列问题中的约束条件。编程实现时需要注意大数问题，因为当n较大时，结果会迅速增长，可能需要使用大整数类型，如Python中的int可以自动处理，而C++中可能需要使用long long或者高精度库。 另外，用户可能对递推公式的数学证明感兴趣，或者如何从排列组合的角度理解这个递推关系。比如，可以通过数学归纳法来证明递推公式的正确性，或者举例说明n=4时的情况，如引用中给出的输出9，验证递推的正确性。 最后，需要确保代码示例正确，比如在Python中实现递推公式，处理边界条件，并测试几个例子，如n=4返回9，n=5返回44等。可能还需要对比递归和动态规划实现的效率，因为递归会有重复计算，而动态规划更高效。</think>### 错位排列递推公式与算法实现 #### 一、递推公式推导 错位排列（全错位排列）指长度为$n$的排列中，**所有元素都不在原始位置**的情况总数，记为$f(n)$。数学家欧拉给出的递推公式为： $$f(n) = (n-1) \cdot [f(n-1) + f(n-2)]$$ 其中初始条件为： - $f(0)=1$（空排列视为有效） - $f(1)=0$（单个元素无法错位） - $f(2)=1$（仅1种交换方式） **推导过程**： 1. 新增第$n$个元素时，该元素不能放在第$n$位，因此有$n-1$种位置选择（假设放在第$i$位） 2. 此时原第$i$位的元素有两种情况： - **情况1**：原第$i$位元素放在第$n$位 → 剩余$n-2$个元素错位排列，共$f(n-2)$种 - **情况2**：原第$i$位元素不放在第$n$位 → 剩余$n-1$个元素错位排列，共$f(n-1)$种 3. 综合两种情况，总数为$(n-1) \cdot [f(n-1)+f(n-2)]$[^1] #### 二、算法实现 ##### 动态规划法（时间复杂度$O(n)$，空间复杂度$O(n)$） ```python def derangement(n): if n == 0: return 1 dp = [0] * (n+1) dp[0], dp[1], dp[2] = 1, 0, 1 for i in range(3, n+1): dp[i] = (i-1) * (dp[i-1] + dp[i-2]) return dp[n] ``` ##### 空间优化版（空间复杂度$O(1)$） ```python def derangement_optimized(n): if n == 0: return 1 if n == 1: return 0 a, b = 0, 1 # f(1), f(2) for i in range(3, n+1): a, b = b, (i-1)*(a + b) return b ``` #### 三、应用场景 1. **密码学**：生成无固定位置的置换表 2. **组合数学**：信封错装问题、随机排列生成 3. **算法设计**：随机化算法中的位置扰动 4. **数据分析**：检验数据分布的随机性 #### 四、验证示例 ```python print(derangement(4)) # 输出9 print(derangement(5)) # 输出44 ```
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