理解数学空间,从距离到希尔伯特空间

本文介绍了数学中的多种空间概念,包括距离、范数、内积及其所对应的欧几里德空间、赋范空间、内积空间及希尔伯特空间等。通过逐级添加约束条件的方式,清晰地展示了这些空间之间的联系和发展过程。

摘要生成于 C知道 ,由 DeepSeek-R1 满血版支持, 前往体验 >

在数学中有许多空间表示,比如欧几里德空间、赋范空间、希尔伯特空间等。这些空间之间有什么关系呢?

首先要从距离的定义说起。
什么是距离呢?实际上距离除了我们经常用到的直线距离外,还有向量距离如Σni=1xi⋅yi−−−−−−−−√Σi=1nxi⋅yi, 函数距离如∫ba(f(x)−g(x))2dx∫ab(f(x)−g(x))2dx、 曲面距离、折线距离等等,这些具体的距离与距离之间的关系类似于苹果、香蕉等与水果的关系,前面是具体的事物,后面是抽象的概念。距离就是一个抽象的概念,其定义为:
设X是任一非空集,对X中任意两点x,y,有一实数d(x,y)与之对应且满足:
1. d(x,y) ≥≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤≤d(x,z)+d(z,y)。
称d(x,y)为X中的一个距离。

定义了距离后,我们再加上线性结构,如向量的加法、数乘,使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;数乘的交换律、单位一;数乘与加法的结合律(两个)共八点要求,从而形成一个线性空间,这个线性空间就是向量空间。

在向量空间中,我们定义了范数的概念,表示某点到空间零点的距离:
1. ||x|| ≥≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤≤||x||+||y||。

将范数与距离比较,可知,范数比距离多了一个条件2,数乘的运算,表明其是一个强化了的距离概念。范数与距离的关系可以类似理解为与红富士苹果与苹果的关系。

接下来对范数和距离进行扩展,形成如下:
范数的集合⟶⟶ 赋范空间+线性结构⟶⟶线性赋范空间
距离的集合⟶⟶ 度量空间+线性结构⟶⟶线性度量空间

下面在已经构成的线性赋范空间上继续扩展,添加内积运算,使空间中有角的概念,形成如下:
线性赋范空间+内积运算⟶⟶ 内积空间;
这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等,有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间。

继续在内积空间上扩展,使得内积空间满足完备性,形成希尔伯特空间如下:
内积空间+完备性⟶⟶ 希尔伯特空间
其中完备性的意思就是空间中的极限运算不能跑出该空间,如有理数空间中的2–√2 的小数表示,其极限随着小数位数的增加收敛到2–√2,但2–√2 属于无理数,并不在有理数空间,故不满足完备性。一个通俗的理解是把学校理解为一个空间,你从学校内的宿舍中开始一直往外走,当走不动停下来时(极限收敛),发现已经走出学校了(超出空间),不在学校范围内了(不完备了)。希尔伯特就相当于地球,无论你怎么走,都还在地球内(飞出太空除外)。

此外,前面提到的赋范空间,使其满足完备性,扩展形成巴拿赫空间如下:
赋范空间+完备性⟶⟶ 巴拿赫空间

以上均是在距离的概念上进行添加约束形成的,递增关系如下:
距离⟶⟶范数⟶⟶内积
向量空间+范数⟶⟶ 赋范空间+线性结构⟶+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶⟶内积空间+完备性⟶⟶希尔伯特空间
内积空间+有限维⟶⟶欧几里德空间
赋范空间+完备性⟶+完备性⟶巴拿赫空间

顺便提以下,对距离进行弱化,保留距离的极限和连续概念,就形成拓扑的概念
---------------------
作者:火贪三刀
来源:优快云
原文:https://blog.youkuaiyun.com/shijing_0214/article/details/51052208
版权声明:本文为博主原创文章,转载请附上博文链接!

内容概要:本文档定义了一个名为 `xxx_SCustSuplier_info` 的视图,用于整合和展示客户(Customer)和供应商(Supplier)的相关信息。视图通过连接多个表来获取组织单位、客户账户、站点使用、位置、财务代码组合等数据。对于客户部分,视图选择了与账单相关的记录,并提取了账单客户ID、账单站点ID、客户名称、账户名称、站点代码、状态、付款条款等信息;对于供应商部分,视图选择了有效的供应商及其站点信息,包括供应商ID、供应商名称、供应商编号、状态、付款条款、财务代码组合等。视图还通过外连接确保即使某些字段为空也能显示相关信息。 适合人群:熟悉Oracle ERP系统,尤其是应付账款(AP)和应收账款(AR)模块的数据库管理员或开发人员;需要查询和管理客户及供应商信息的业务分析师。 使用场景及目标:① 数据库管理员可以通过此视图快速查询客户和供应商的基本信息,包括账单信息、财务代码组合等;② 开发人员可以利用此视图进行报表开发或数据迁移;③ 业务分析师可以使用此视图进行数据分析,如信用评估、付款周期分析等。 阅读建议:由于该视图涉及多个表的复杂连接,建议读者先熟悉各个表的结构和关系,特别是 `hz_parties`、`hz_cust_accounts`、`ap_suppliers` 等核心表。此外,注意视图中使用的外连接(如 `gl_code_combinations_kfv` 表的连接),这可能会影响查询结果的完整性。
评论
添加红包

请填写红包祝福语或标题

红包个数最小为10个

红包金额最低5元

当前余额3.43前往充值 >
需支付:10.00
成就一亿技术人!
领取后你会自动成为博主和红包主的粉丝 规则
hope_wisdom
发出的红包
实付
使用余额支付
点击重新获取
扫码支付
钱包余额 0

抵扣说明:

1.余额是钱包充值的虚拟货币,按照1:1的比例进行支付金额的抵扣。
2.余额无法直接购买下载,可以购买VIP、付费专栏及课程。

余额充值