RNN

一、RNN简介
RNN的目的使用来处理序列数据。在传统的神经网络模型中，是从输入层到隐含层再到输出层，层与层之间是全连接的，每层之间的节点是无连接的。但是这种普通的神经网络对于很多问题却无能无力。例如，你要预测句子的下一个单词是什么，一般需要用到前面的单词，因为一个句子中前后单词并不是独立的。RNNs之所以称为循环神经网路，即一个序列当前的输出与前面的输出也有关。具体的表现形式为网络会对前面的信息进行记忆并应用于当前输出的计算中，即隐藏层之间的节点不再无连接而是有连接的，并且隐藏层的输入不仅包括输入层的输出还包括上一时刻隐藏层的输出。理论上，RNNs能够对任何长度的序列数据进行处理。但是在实践中，为了降低复杂性往往假设当前的状态只与前面的几个状态相关，下图便是一个典型的RNNs：
 

二、RNN神经元原理表述：
                             

三、分类：

                          

 
四、主要算法
1. 遗传算法
2. DBP(Dynamic Backpropagation)算法
3. 最小二乘法（梯度下降法）
五、训练
两种模式：在线和离线
六、RNN的应用
RNN是对时间序列上的变化进行建模，强调了时间顺序的重要性，主要用在：
1、 语言模型与文本生成
语言模型中，典型的输入是单词序列中每个单词的词向量(如 One-hot vector)，输出时预测的单词序列。
另一种应用便是使用生成模型预测下一个单词的概率，从而生成新的文本根据输出概率的采样。
2、机器翻译
机器翻译是将一种源语言语句变成意思相同的另一种源语言语句，如将英语语句变成同样意思的中文语句。与语言模型关键的区别在于，需要将源语言语句序列输入后，才进行输出，即输出第一个单词时，便需要从完整的输入序列中进行获取。

3. 可以和限制波尔兹曼机联合使用，应用于语音识别研究，这样做可以克服递归神经网络的两个问题：

在此之前，我们已经学习了前馈网络的两种结构——多层感知器和卷积神经网络，这两种结构有一个特点，就是假设输入是一个独立的没有上下文联系的单位，比如输入是一张图片，网络识别是狗还是猫。但是对于一些有明显的上下文特征的序列化输入，比如预测视频中下一帧的播放内容，那么很明显这样的输出必须依赖以前的输入， 也就是说网络必须拥有一定的”记忆能力”。为了赋予网络这样的记忆力，一种特殊结构的神经网络——递归神经网络(Recurrent Neural Network)便应运而生了。网上对于RNN的介绍多不胜数，这篇《Recurrent Neural Networks Tutorial》对于RNN的介绍非常直观，里面手把手地带领读者利用python实现一个RNN语言模型，强烈推荐。为了不重复作者 Denny Britz的劳动，本篇将简要介绍RNN，并强调RNN训练的过程与多层感知器的训练差异不大(至少比CNN简单)，希望能给读者一定的信心——只要你理解了多层感知器，理解RNN便不是事儿:-)。

RNN的基本结构

首先有请读者看看我们的递归神经网络的容貌： 
 
乍一看，好复杂的大家伙，没事，老样子，看我如何慢慢将其拆解，正所谓见招拆招，我们来各个击破。 
上图左侧是递归神经网络的原始结构，如果先抛弃中间那个令人生畏的闭环，那其实就是简单”输入层=>隐藏层=>输出层”的三层结构，我们在多层感知器的介绍中已经非常熟悉，然而多了一个非常陌生的闭环，也就是说输入到隐藏层之后，隐藏层还会给自己也来一发，环环相扣，晕乱复杂。 
我们知道，一旦有了环，就会陷入“先有蛋还是先有鸡”的逻辑困境，为了跳出困境我们必须人为定义一个起始点，按照一定的时间序列规定好计算顺序，做到有条不紊，于是实际上我们会将这样带环的结构展开成一个序列网络，也就是上图右侧被“unfold”之后的结构。先别急着能理解RNN，我们来点轻松的，先介绍这样的序列化网络结构包含的参数记号：

• 网络某一时刻的输入 xt ，和之前介绍的多层感知器的输入一样， xt 是一个 n 维向量，不同的是递归网络的输入将是一整个序列，也就是 x=[x1,...,xt−1,xt,xt+1,...xT] ，对于语言模型，每一个 xt 将代表一个词向量，一整个序列就代表一句话。
• ht 代表时刻 t 的隐藏状态
• ot 代表时刻 t 的输出
• 输入层到隐藏层直接的权重由 U 表示，它将我们的原始输入进行抽象作为隐藏层的输入
• 隐藏层到隐藏层的权重 W ，它是网络的记忆控制者，负责调度记忆。
• 隐藏层到输出层的权重 V ，从隐藏层学习到的表示将通过它再一次抽象，并作为最终输出。

RNN的Forward阶段

上一小节我们简单了解了网络的结构，并介绍了其中一些记号，是时候介绍它具体的运作过程了。首先在 t=0 的时刻， U,V,W 都被随机初始化好， h0 通常初始化为0，然后进行如下计算： 

s1=Ux1+Wh0h1=f(s1)o1=g(Vh1)

这样时间就向前推进，此时的状态 h1 作为时刻0的记忆状态将参与下一次的预测活动，也就是

s2=Ux2+Wh1h2=f(s2)o2=g(Vh2)

，以此类推

st=Uxt+Wht−1ht=f(Uxt+Wht−1)ot=g(Vht)

其中 f 可以是 tanh,relu,logistic 任君选择， g 通常是 softmax 也可以是其他，也是随君所欲。 
值得注意的是，我们说递归神经网络拥有记忆能力，而这种能力就是通过 W 将以往的输入状态进行总结，而作为下次输入的辅助。可以这样理解隐藏状态：

h=f(现有的输入+过去记忆总结)

RNN的Backward阶段

上一小节我们说到了RNN如何做序列化预测，也就是如何一步步预测出 o1,o2,....ot−1,ot,ot+1..... ，接下来我们来了解网络的知识 U,V,W 是如何炼成的。 
其实没有多大新意，我们还是利用在之前讲解多层感知器和卷积神经网络用到的backpropagation方法。也就是将输出层的误差 Cost ，求解各个权重的梯度 ∇U,∇V,∇W ，然后利用梯度下降法更新各个权重。现在问题就是如何求解各个权重的梯度，其它的所有东西都在之前介绍中谈到了，所有的trick都可以复用。 
由于是序列化预测，那么对于每一时刻 t ，网络的输出 ot 都会产生一定误差 et ，误差的选择任君喜欢，可以是cross entropy也可以是平方误差等等。那么总的误差为 E=∑tet ，我们的目标就是要求取

∇U=∂E∂U=∑t∂et∂U∇V=∂E∂V=∑t∂et∂V∇W=∂E∂W=∑t∂et∂W

我们知道输出 ot=g(Vst) ,对于任意的 Cost 函数，求取 ∇V 将是简单的，我们可以直接求取每个时刻的 ∂et∂V ，由于它不存在和之前的状态依赖，可以直接求导取得，然后简单地求和即可。我们重点关注 ∇W,∇U 的计算。 
回忆之前我们介绍 多层感知器 的backprop算法，我们知道算法的trick是定义一个 δ=∂e∂s ，首先计算出输出层的 δL ，再向后传播到各层 δL−1,δL−2,.... ，那么如何计算 δ 呢？先看下图： 
 
之前我们推导过，只要关注当前层次发射出去的链接即可，也就是

δht=(VTδot+WTδht+1).∗f′(st)

只要计算出所有的 δot,δht ，就可以通过以下计算出 ∇W,∇U ： 

∇W=∑t⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢δh0,th0,t−1,...,δh0,thi,t−1,...,δh0,thm,t−1...δhj,th0,t−1,...,δhj,thi,t−1,...,δhj,thm,t−1...δhn,th0,t−1,...,δhn,thi,t−1,...,δhn,thm,t−1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=∑tδht×ht−1∇U=∑t⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢δh0,tx0,t,...,δh0,txi,t,...,δh0,txm,t...δhj,tx0,t,...,δhj,txi,t,...,δhj,txm,t...δhn,tx0,t,...,δhn,txi,t,...,δhn,txm,t⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥=∑tδht×xt

其中 × 表示两个向量的外积。这样看来，只要你熟悉MLP的backprop算法，RNN写起程序来和MLP根本没有多大差异！手写naive的demo至少比CNN容易很多。

RNN的训练困难

虽然上一节中，我们强调了RNN的训练程序和MLP没太大差异，虽然写程序容易，但是训练起来却是千难万阻。为什么呢？因为我们的网络是根据输入而展开的，输入越长，展开的网络越深，那么对于“深度”网络训练有什么困难呢？最常见的是“gradient explode”和“gradient vanish”。这种问题在RNN中如何体现呢？为了强调这个问题，我们模仿Yoshua Bengio的论文《On the difficulty of training recurrent neural networks》的推导，重写一下RNN的梯度求解过程，为了推导方便，我们人为地为 W,U 打上标签 Wt,Ut ，即认为当确定好时间长度 T ，RNN就变成普通的MLP。打上标签后的RNN变成如下： 
 
假如对于时刻 t+1 产生的误差 et+1 ，我们想计算它对于 W1,W2,....,Wt，Wt+1 的梯度，可以如下计算： 

∂et+1∂Wt+1=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂Wt+1

∂et+1∂Wt=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂ht∂ht∂Wt

∂et+1∂Wt−1=∂et+1∂ht+1∂ht+1∂ht∂ht∂ht−1∂ht−1∂Wt−1

......

反复运用链式法则，我们可以求出每一个 ∇W1,∇W2,....,∇Wt，∇Wt+1 ，需要注意的是，实际RNN模型对于 W,U 都是不打标签的，也就是在不同时刻都是共享同样的参数，这样可以大大减少训练参数，和CNN的共享权重类似。对于共享参数的RNN，我们只需将上述的一系列式子抹去标签并求和，就可以得到Yoshua Bengio论文中所推导的梯度计算式子： 

∂et∂W=∑1≤k≤t∂et∂ht∏k<i≤t∂hi∂hi−1∂+hk∂W

其中 ∂+hk∂W 代表不利用链式法则直接求导，也就是假如对于函数 f(h(x)) ，对其直接求导结果如下：

∂f(h(x))∂x=f′(h(x))

也就是将 h(x) 看成常数了。网上许多RNN教程都用Yoshua Bengio类似的推导，却省略了这个小步骤，使得初学者常常搞得晕头转向，摸不着头脑。论文中证明了：

||∏k<i≤t∂hi∂hi−1||≤ηt−k

从而说明了这是梯度求导的一部分环节是一个指数模型，当 η<1 时，就会出现”gradient vanish”问题，而当 η>1 时，“gradient explode”也就产生了。 
为了克服”gradient vanish”的问题，LSTM和GRU模型便后续被推出了，为什么LSTM和GRU可以克服gradient vanish问题呢？由于它们都有特殊的方式存储”记忆”，那么以前gradient比较大的”记忆”不会像简单的RNN一样马上被抹除，因此可以一定程度上克服gradient vanish问题。 
另一个简单的技巧可以用来克服gradient explode的问题就是gradient clipping，也就是当你计算的gradient超过阈值 c 的或者小于阈值 −c 时候，便把此时的gradient设置成 c 或 −c 。这种trick的表现形式如下图虚线所示： 

上图所示是RNN的Error Sufface，可以看到RNN的Error Sufface要么非常陡峭，要么非常平坦，如果不采取任何措施，当你的参数在某一次更新之后，刚好碰到陡峭的地方，此时gradient变得非常大，那么你的参数更新也会非常大，很容易导致震荡问题。而如果你采取了gradient clipping这个技巧，那么即使你不幸碰到陡峭的地方，gradient也不会explode，因为被你限制在某个阈值 c 。 
有趣的是，正是因为训练深度网络的困难，才导致神经网络这种古老模型沉寂了几十年，不过现在硬件的发展，训练数据的增多，神经网络重新得以复苏，并以重新以深度学习的外号杀出江湖。

参考引用

《Recurrent Neural Networks Tutorial》 
《On the difficulty of training recurrent neural networks》