【剑指Offer学习】【面试题10 ：青蛙跳台的变种问题】

题目描述

一只青蛙一次可以跳上1级台阶，也可以跳上2级……它也可以跳上n级。求该青蛙跳上一个n级的台阶总共有多少种跳法。

题目分析

这次的场景和之前青蛙跳台的问题不一样，前一次的场景是青蛙一次可以调1个台阶，也可以跳2个台阶。现在的场景是：青蛙也可以跳上n级。所以情况又发生了变化。

现在我们用数学归纳法来分析一下这个变种问题：

首先，当n=1时，只有一种跳法  f(1)=1。

其次，当n=2时，有两种跳法，每次跳1阶，或者一次性跳2阶。f(2) =2。

当n=3时，有4种跳法，第一种方式是第一次跳1阶，剩下的2个台阶有f(2)次跳法，f(2)=2，第二种方式是第一次跳2阶，剩下的1个台阶有f(1)=1种跳法，第三种方式是一次性跳3阶，f(0)=1。所以当n=3时，有f(2)+f(1)+f(0)=4。

当分析到n=3时，我们发现这种场景下，可以归纳到n>3时，f(n)=f(n-1)+f(n-2)+f(n-3)+f(...)+f(0)。而f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)+f(n-4)+f(n-5)+f(..)+f(0)。两式相减，得到f(n)-f(n-1)=f(n-1)，整理可以得到f(n)=f(n-1)*2。

分析到这，我们接下来写代码就容易得多了。

public static int JumpFloorII(int n){
        if(n==1 || n==2){
            return n;
        }else{
            return JumpFloorII(n-1)*2;
        }
    }