二叉树的相关概念以及操作

在数据结构与算法中，树的这中数据结构是我们必须要学习的，本文来首先来说说树中的二叉树

什么是二叉树

我们都知道树是一种数据结构，是由n（n>=1）个有限的节点组成的一种具有层次关系的集合。树的种类有很多，有二叉树、平衡二叉树、B树、B+树、哈夫曼树、B-树、B*树、红黑树、trie树等，本文我们来说说二叉树。

二叉树是有限个节点的集合，这个集合可以是空集，也可以是一个根节点和两棵不相交的子二叉树组成的集合，其中一棵叫左子树，另外一棵叫右子树。

所以，二叉树的定义是个递归的定义。其实是上面说了这么多，二叉树的理解很简单，就是一棵树中的每个节点至多有两个子节点，而且子节点分左右的。

下面来介绍两种特殊的二叉树

1.满二叉树

满二叉树就是高度为k,且拥有2的k次方减1个节点的二叉树。其实一棵满二叉树每个节点要么有两个子树，要么都没有子树，而且每一层所有节点之间都有两颗子树，要么都没有子树。

2.完全二叉树

完全二叉树是一棵特殊的二叉树，它有一些特殊的规则，假设二叉树的高度为k，则完全二叉树需要满足一下两点

（1）所有叶子结点都出现在k层或者k-1层，而且从1到k-1层必须要达到最大节点数

（2）第k层可以是不满的，但是第K层的所有节点必须集中在最左边

二叉树的实现

二叉树节点的实现

其实二叉树的实现要比普通的数简单，因为二叉树的每个节点最多有两个子节点，其实二叉树的每个子节点仍是一棵二叉树，所以我们可以用递归的方式来定义二叉树，首先来看看二叉树节点的实现代码：

package cn.csu;


public class BinaryTreeNode {
    private int data;//数据
    private BinaryTreeNode leftNode;
    private BinaryTreeNode rightNoed;

    public int getData() {
        return data;
    }

    public void setData(int data) {
        this.data = data;
    }

    public BinaryTreeNode getLeftNode() {
        return leftNode;
    }

    public void setLeftNode(BinaryTreeNode leftNode) {
        this.leftNode = leftNode;
    }

    public BinaryTreeNode getRightNoed() {
        return rightNoed;
    }

    public void setRightNoed(BinaryTreeNode rightNoed) {
        this.rightNoed = rightNoed;
    }
}

二叉树的节点有了，一般我们用的是上面的左右链的表示方法，接下来要完成完整的二叉树，就应该对二叉树进行操作，比如创建、添加元素、清空、遍历等等。

二叉树的创建

创建二叉树一般有两种情况：初始化一个根节点或者初始化一棵空二叉树，代码如下:

package cn.csu;


public class BinaryTree {
    private BinaryTreeNode root;
    public BinaryTree(){
        
    }

    public BinaryTreeNode getRoot() {
        return root;
    }

    public void setRoot(BinaryTreeNode root) {
        this.root = root;
    }
}

二叉树的清空

二叉树的清空也比较简单，首先我们提供一个清空某个节点为根的子树的方法，即递归地删除每个节点，接着提供一个删除树的方法，直接通过第一种方法删除根节点，我们来看看代码:

/**
     * 清除某个子树的所有节点
     * @param node
     */
    public void clear(BinaryTreeNode node){
        if(node != null){
            clear(node.getLeftNode());//递归地删除左子节点
            clear(node.getRightNoed());//递归地删除右子节点
            node = null;//删除节点
        }
    }

    /**
     * 清空树
     */
    public void clear(){
        clear(root);
    }

判断二叉树是否为空

我们只需要判断树根是否为空就好了代码如下:

/**
     * 判断树是否为空
     * @return
     */
    public  boolean isEmpty(){
        return root == null;
    }

求二叉树的高度

首先，我们需要一种获取某个节点为子树的高度的方法，使用递归实现。如果一个节点为空，那么这个节点肯定是一棵空树，高度为0，如果不为空，那么我们遍历地比较他的左子树高度和右子树高度，高的一个为这个子树的的最大高度，然后加上本身的高度就好了。

而获取二叉树的高度时只需要传入根节点就好了，看代码

/**
     * 获取二叉树的高度
     * @return
     */
    public int height(){
        return height(root);
    }

    /**
     * 获取某节点为子树的高度
     * @param node
     * @return
     */
    public int height(BinaryTreeNode node){
        if(node == null){
            return 0;
        }else{
            //获取节点左子树的高度
            int l = height(node.getLeftNode());
            //获取节点右子树的高度
            int r = height(node.getRightNode());
            return l <r ? r+1 : l+1;
        }
    }

二叉树的节点数

获取二叉树的节点数时，我们先来看看获取某个节点为子树的节点数的实现，首先节点为空，所以个数肯定是0，如果不为空，那就算上自己这个节点后，继续递归计算所有左右子树的子节点数，全部相加即所给节点的子树节点的总节点数

同样，我们在获取二叉树的节点时，只需要以树根为参数即可获取

/**
     * 获取二叉树的节点数
     * @return
     */
    public int size(){
        return size(root);
    }

    /**
     * 获取某节点为子树的节点数
     * @param node
     * @return
     */
    public int size(BinaryTreeNode node){
        if(node == null){
            //如果节点为空，则返回0
            return 0;
        }else{
            //递归获取左子树的节点数以及右子树的节点数，最终相加
            return 1+ size(node.getLeftNode()) + size(node.getRightNode());
        }

    }

返回某个节点的父节点

首先同样需要通过一种方法来获取某个节点在某个子树中的父节点，这里我们使用递归实现，接着通过这种方法获取这个节点在二叉树的父节点。

其实。以现有的这种二叉树的形式，我们没办法直接获取一个一个节点的父节点，我们通过根节点的依次遍历来比较获取

/**
     * 查找node节点在二叉树中的父节点
     * @param node
     * @return
     */
    public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode node){
        return (root == null || root == node)?null:getParent(root,node);
    }

    /**
     * 递归查找node节点在subTree子树中的父节点
     * @param subTree
     * @param node
     * @return
     */
    public BinaryTreeNode getParent(BinaryTreeNode subTree,BinaryTreeNode node){
        if(subTree == null){
            //如果子树为空，则没有父节点
            return null;
        }
        if(subTree.getLeftNode() == node || subTree.getRightNode() == node){
            //如果子树树根节点为待查节点，那么这个子树的树根节点为待查节点的父节点
            return subTree;
        }
        BinaryTreeNode parent = null;
        //先递归在左子树查找
        if((parent = getParent(subTree.getLeftNode(), node)) != null){
            return parent;
        }else{
            //递归在右子树查找
            return getParent(subTree.getRightNode(), node);
        }
    }

返回左右子树

这个比较简单，可以直接通过节点的方法获取

/**
     * 获取某个节点的左子树
     * @param node
     * @return
     */
    public BinaryTreeNode getLeftTree(BinaryTreeNode node){
        return node.getLeftNode();
    }

    /**
     * 获取某个节点的右子树
     * @param node
     * @return
     */
    public BinaryTreeNode getRightTree(BinaryTreeNode node){
        return node.getRightNode();
    }

二叉树的插入

二叉树的插入操作有两种情况：插入某节点的左子节点，，插入某节点的右子节点、值得指出的是，当这个节点本身有子节点时，这样的插入会覆盖原来这个位置上的节点，另外，虽然插入的是子节点，但其实子节点也可以代表一棵子树，因为我们但从这个节点来看并不知道这个节点是否有左右子树在，所以虽然插入的是一个节点，但有可能也插入了很多节点进来（插入的是一棵子树）。

/**
     * 给某节点插入左子节点
     * @param parent
     * @param newNode
     */
    public void insertLeft(BinaryTreeNode parent,BinaryTreeNode newNode){
        parent.setLeftNode(newNode);
    }

    /**
     * 给某节点插入右子节点
     * @param parent
     * @param newNode
     */
    public void insetRight(BinaryTreeNode parent,BinaryTreeNode newNode){
        parent.setRightNode(newNode);
    }

二叉树的遍历

这里我把二叉树的遍历单独列出来，因为在二叉树的操作中，遍历是很重要的一个操作。遍历方式有三种，下面我们来看看。

首先树是一个非线性的结构，如果想要有规律地访问每一个节点，则肯定需要根据一定规则去遍历。二叉树的遍历就是按照一定的规律来顺序遍历二叉树的各个节点，使得每个节点都会被访问到且仅有一次。这样的遍历对学习二叉树很有用。

下面我分别介绍一下二叉树遍历的三种方式，这三种遍历方式的定义都采用的了递归的定义方式

首先为了理解方便，我先给出一个树的图示

1.前序遍历

若二叉树为空，则退出，否则进行下面的操作

（1）访问根节点

（2）前序遍历左子树

（3）前序遍历右子树

（4）遍历完毕，退出

代码实现如下：

/**
     * 前序遍历
     * @param node
     */
    public void preOrder(BinaryTreeNode node){
        if(node != null){
            //visited(node);
            preOrder(node.getLeftNode());
            preOrder(node.getRightNode());
        }
    }

那么按照前序遍历的操作，上图中的二叉树前序遍历的结果为A、B、D、H、I、E、J、C、F、G

2.中序遍历

若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作

（1）中序遍历左子树

（2）访问根节点

（3）中序遍历右子树

（4）遍历完成

代码：

/**
     * 中序遍历
     * @param node
     */
    public void inOrder(BinaryTreeNode node){
        if(node != null){
            inOrder(node.getLeftNode());
            //visit(node)
            inOrder(node.getRightNode());
            
        }
    }

那么图示的中序遍历结果为：HIDJEBFGCA

3.后序遍历

若二叉树为空，则退出，否则进行下面操作

（1）后序遍历左子树

（2）后序遍历右子树

（3）访问根节点

（4）遍历完毕

代码如下：

/**
     * 后序遍历
     * @param node
     */
    public void postOrder(BinaryTreeNode node){
        if(node != null){
            postOrder(node.getLeftNode());
            postOrder(node.getRightNode());
            //visit(node);
        }
    }

那么图示的二叉树的后序遍历结果为    HIDJEBFGCA

总结：以上就是二叉树的相关概念和操作，下篇文章我将介绍二叉树中完全二叉树和它的一些特性