第二章——复杂度分析-优快云博客

1. 算法效率评估

‧ 时间效率和空间效率是衡量算法优劣的两个主要评价指标。
‧ 可以通过实际测试来评估算法效率，但难以消除测试环境的影响，且会耗费大量计算资源。
‧ 复杂度分析可以克服实际测试的弊端，分析结果适用于所有运行平台，并且能够揭示算法在不同数据规模下的效率。

2. 时间复杂度

‧ 时间复杂度用于衡量算法运行时间随数据量增长的趋势，可以有效评估算法效率，但在某些情况下可能失效，如在输入的数据量较小或时间复杂度相同时，无法精确对比算法效率的优劣。

‧ 最差时间复杂度使用大𝑂符号表示，对应函数渐近上界，反映当𝑛趋向正无穷时，操作数量𝑇(𝑛)的增长级别。

‧ 推算时间复杂度分为两步，首先统计操作数量，然后判断渐近上界。

‧ 常见时间复杂度从小到大排列有𝑂(1)、𝑂(log𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂(𝑛log𝑛)、𝑂( $n^{2}$ )、𝑂( $2^{n}$ )和𝑂(𝑛!)等。

1）遍历数组和遍历链表等操作的时间复杂度均为𝑂(𝑛)。

2）平方阶通常出现在嵌套循环中，外层循环和内层循环都为𝑂(𝑛)，因此总体为𝑂( $n^{2}$ )，举例：冒泡排序。

3）指数阶常出现于递归函数中。指数阶增长非常迅速，在穷举法（暴力搜索、回溯等）中也比较常见。生物学的“细胞分裂”是指数阶增长的典型例子：初始状态为1个细胞，分裂一轮后变为2个，分裂两轮后变为4个，以此类推，分裂𝑛轮后有 $2^{n}$ 个细胞。时间复杂度为𝑂( $2^{n}$ )。

4）对数阶常出现于基于分治策略的算法中，体现了“一分为多”和“化繁为简”的算法思想。

5）线性对数阶常出现于嵌套循环中，两层循环的时间复杂度分别为𝑂(log𝑛)和𝑂(𝑛)。主流排序算法的时间复杂度通常为𝑂(𝑛log𝑛)，例如快速排序、归并排序、堆排序等。

‧ 某些算法的时间复杂度非固定，而是与输入数据的分布有关。时间复杂度分为最差、最佳、平均时间复杂度，最佳时间复杂度几乎不用，因为输入数据一般需要满足严格条件才能达到最佳情况。

‧ 平均时间复杂度反映算法在随机数据输入下的运行效率，最接近实际应用中的算法性能。计算平均时间复杂度需要统计输入数据分布以及综合后的数学期望。

3. 空间复杂度

‧ 空间复杂度的作用类似于时间复杂度，用于衡量算法占用空间随数据量增长的趋势。

‧ 算法运行过程中的相关内存空间可分为输入空间、暂存空间、输出空间。通常情况下，输入空间不计入空间复杂度计算。暂存空间可分为指令空间、数据空间、栈帧空间，其中栈帧空间通常仅在递归函数中影响空间复杂度。

‧ 通常只关注最差空间复杂度，即统计算法在最差输入数据和最差运行时间点下的空间复杂度。因为内存空间是一项硬性要求，必须确保在所有输入数据下都有足够的内存空间预留。

‧ 常见空间复杂度从小到大排列有𝑂(1)、𝑂(log𝑛)、𝑂(𝑛)、𝑂( $n^{2}$ )和𝑂( $2^{n}$ )等。

1）常数阶常见于数量与输入数据大小𝑛无关的常量、变量、对象。在循环中初始化变量或调用函数而占用的内存，在进入下一循环后就会被释放，因此不会累积占用空间，空间复杂度仍为𝑂(1)。

2）线性阶𝑂(𝑛)常见于元素数量与𝑛成正比的数组、链表、栈、队列等。

3）平方阶常见于矩阵和图，元素数量与𝑛成平方关系。

4）指数阶常见于二叉树。高度为𝑛的“满二叉树”的节点数量为 $2^{n}$ -1，占用𝑂( $2^{n}$ )空间。

5）对数阶常见于分治算法。例如归并排序，输入长度为𝑛的数组，每轮递归将数组从中点划分为两半，形成高度为log𝑛的递归树，使用𝑂(log𝑛)栈帧空间。