{Programming Pearls}第二章--向量旋转问题

一.问题描述

    原题:将一个n元一维向量向左旋转i个位置.例如,当n=8且i=3时,向量abcdefgh旋转为defghabc.简单的代码使用一个n元的中间向量在n步完成

           该工作.你能否使用数十个额外字节的存储空间,在正比于n的时间内完成向量的旋转.

 

    分析:问题中所说的一维向量说的通俗一点就是一维数组.因此问题又可以被描述为是一维数组的元素交换问题.更加准确而且专业的说法:交换相邻

           的不同大小的内存块.

 

二.思路分析

 

   常规思路:

                  如果没有时间和空间的限制,按照我们平常的固定思维(思维捷径)可以有2种很容易想到的方法

 

                  1.如果空间上允许,我们可以设一个临时数组,数组大小与i相等,例如abcdefgh中,设置临时数组放置abc,然后将余下的n-i个元素向左移

                     动i个位置,最后将临时数组中的数据插入即可完成.

 

                  2.如果时间上允许,可以定义一个函数将第一个元素取出,剩下的n-1个元素左移,再将第一个元素插入最后.调用这个函数i次,即可完成.

 

                   因此,要在有限的空间和时间内解决该问题,显然需要更加简便,巧妙地方法.

 

   思路分析:

                 很明显,对于比较大的数组,即比较大的n值的时候,常规方法有很大的局限性.那么我们如何才能得到更加简洁有效地方法呢?

 

                  1.首先,大规模的复制转移是不行的,因为n的规模就限制了复制的规模.

 

                  2.然后,一次操作移动一个而影响全部的元素的位置也是不行的,因为n的规模就限制了时间.

 

                  因此,按照这样的推理,就应该找一种方法----操作范围在数组之中,不需要引进大量的临时外部空间,一次性又能处理一块元素的方法.

 

三.方法分析

 

 

                  基于上面的思路分析,我们想到能用数组元素相互交换的方法来使他们得到我们想要的顺序,因为2个元素相互交换只需要引入1个临时

                  变量,而且时间上也比较快.现在的问题是采用什么方法来交换.比如abc|defgh,采用什么方法才能达到我们的目的呢.

 

                  如果仅仅是最后几个相交换,得到的是fghdeabc,不是我们想要的结果.这是因为两部分元素个数不相等,按照元素少的部分的元素个                     数来交换,势必会是元素多的部分的一些元素无法到达正确的位置.

 

                  因此,我们不能对两部分一开始就交换.那么对各自部分的内部进行交换呢,好像也不能使前一部分的元素到达后一部分的位置.

                  那么,能不能先对各自部分进行内部交换,再对两部分整体交换呢?

 

  翻转思想:

                  我们将为问题转化为将数组ab转换成ba,同时假定我们拥有一个函数可以将数组中特定部分的元素求逆.从ab开始,首先对a求逆,得到

                  a'b,然后对b求逆,得到a'b',最后整体求逆,就得到ba.即:

                     reverse(0, i-1);                  /*cbadefgh*/

                     reverse(i, n-1);                  /*cbahgfed*/

                     reverse(0,n-1);                  /*defghabc*/

 

四.代码分析

 

                   #include<stdio.h> #include<stdlib.h> #include<time.h> #define MAXN 10000000 int x[MAXN]; int rotdist, n; void reverse(int i ,int j) { int t; while(i < j) { t = x[i]; x[i] = x[j]; x[j] = t; i++; j--; } } void revrot(int rotdist, int n) { reverse(0,rotdist-1); reverse(rotdist,n-1); reverse(0,n-1); } 

 

     效率分析:

                 现在来看看代码的效率如何,按照reverse函数的描述,数组两端的元素互换,因此,对于长度为奇数i的数组,需要"[i/2]下取整"次交换.

                 对于长度为偶数i的数组,需要"i/2"次交换.

 

                 按照            奇数 + 偶数 = 奇数

                                   偶数 + 偶数 = 偶数

                                   奇数 + 奇数 = 偶数

               因此,对于长度为n的数组,交换次数为n-1或者n次.而引入的外部空间仅仅是一个用于交换的中间临时变量t.

 

               很明显,这样的时间和空间效率都是我们能够接受的.这种方法是这种问题的有效解决方法之一.

 

五.思维扩展

 

    对于这一个问题的解决,我们可以继续深入,即将问题从特殊到一般,挖掘出问题的本质.

 

   这个问题的一般形式在先前已经提到过了,就是相邻的不同大小的内存块的交换.很显然,这样描述的问题模型更具有普遍性,也更具有实际价值.

   也就是说,以后对于相邻的不同大小的内存块的交换我们可以采用翻转思想这种比传统方法更加高效简洁的方法.当将翻转思想慢慢固化成自己的

   一条思维捷径的时候,应该能对这样的问题给出更加深刻的理解.