0-1背包

问题描述：

给定n种物品和一背包。物品i的重量是wi，其价值为vi，背包容量为c。问应如何选择装入背包中的物品，使得装入背包中物品的总价值最大。在选择装入背包的物品时，对每种物品i只有两种选择，即装入背包或不装入背包。不能将物品i装入背包多次，也不能只装入部分的物品i。因此，该问题称为0-1背包问题。

 

DP思想：

首先物品个数为n个， 包总容量为c, 其中w[],v[]分别为n个物品的重量、价格。表m(i,j)表示从第i个物品开始容量为j的包的最大价值量。具体流程如下：

1. 初始化,当i=n-1时，若c>=w[i],则m(i,c)=v[i]；若0<=j<w[i]，则m(i,c)=0
2. 当0<=i<n-1时，若j>=w[i],则m(i,j)=max{ m(i+1,j), m(i+1,j-w[i])+v[i] }；若0<=j<w[i]，则m(i,j)=m(i+1,j)

 

 

C++源码：

#include <iostream> #include <cstring> using namespace std; class knap{ public: knap(); void init(); int run(); void dumpW(); void dumpV(); void dumpTable(); void dumpTrace(); int getCap(); int getNum(); private: void trace(); const static int NUM_OF_GOODS = 256; const static int CAPACITY = 256; int w[NUM_OF_GOODS];//weight int v[NUM_OF_GOODS];//value int c;//capacity int num;//num of goods int table[NUM_OF_GOODS][CAPACITY]; bool isIn[NUM_OF_GOODS]; }; knap::knap(){ memset(w, 0, sizeof(w)); memset(v, 0, sizeof(v)); memset(table, 0, sizeof(table)); memset(isIn, 0, sizeof(isIn)); num = c = 0; } void knap::init(){ num = 5; c = 10; w[0] = 1 , w[1] = 3, w[2] = 2, w[3] = 9, w[4] = 4; v[0] = 10, v[1] = 5, v[2] = 6, v[3] = 8, v[4] = 7; } int knap::run(){ for(int i=0;i<=c;i++){ if(w[num-1]<=i) table[num-1][i] = v[num-1]; else table[num-1][i] = 0; } for(int i=num-2;i>=0;i--){ for(int j=0;j<=c;j++){ if(j>=w[i]){ table[i][j]=max(table[i+1][j], table[i+1][j-w[i]]+v[i]); }else{ table[i][j]=table[i+1][j]; } } } this->trace(); return table[0][c]; } void knap::trace(){ int curCap = c; for(int i=0;i<num-1;i++){ if(table[i][curCap]==table[i+1][c]) isIn[i] = false; else{ isIn[i] = true; curCap -= w[i]; } } isIn[num-1] = curCap >= w[num-1] ? true : false; } void knap::dumpW(){ for(int i=0;i<num;i++){ cout << w[i] << "/t"; } cout << endl; } void knap::dumpV(){ for(int i=0;i<num;i++){ cout << v[i] << "/t"; } cout << endl; } void knap::dumpTable(){ for(int i=num-1;i>=0;i--){ for(int j=0;j<=c;j++) cout << table[i][j] << "/t"; cout << endl; } } void knap::dumpTrace(){ for(int i=0;i<num;i++){ cout << isIn[i] << "/t"; } cout << endl; } int knap::getCap(){ return c; } int knap::getNum(){ return num; } int main() { knap k; int ans; k.init(); ans = k.run(); cout << "Num of goods:/t" << k.getNum() << endl; cout << "Capacity:/t" << k.getCap() << endl; cout << "Weight:/n"; k.dumpW(); cout << "Value:/n"; k.dumpV(); cout << "Table:/n"; k.dumpTable(); cout << "Trace:/n"; k.dumpTrace(); cout << "answer:/n" << ans << endl; return 0; }

 

运行结果：