Catalan Number(卡特兰数/卡塔兰数)

本文介绍了卡特兰数的基本概念,将其定义为进行n次入栈和n次出栈的所有合法组合方式的数量,并给出了详细的推导过程。

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简介

卡特兰数可以比较直观地理解为:进行n次入栈和n次出栈,共有多少种出栈、入栈的组合方式。约束条件为:每一时刻的出栈次数不能多于入栈次数

推导

  1. 抛开约数条件,对于共2n次的操作,有Cn2nC2nn种操作
  2. 假设在第k次出现了非法操作,即出栈次数大于入栈次数,那么将k次之后的所有出栈改为入栈,入栈改为出栈。那么求n次入栈n次出栈的非法操作方式等价于求n-1次入栈,n+1次出栈的操作方式,易得方式数为Cn12nC2nn−1
  3. 所有的操作数减去非法操作数即为合法的操作数,即为Cn2nCn12nC2nn−C2nn−1
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