矩阵运算规律总结

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#矩阵 #线性代数

于 2021-12-23 21:34:10 首次发布

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本文总结了矩阵运算的基本规律，包括矩阵相乘的结合律、交换律及矩阵逆、转置等概念及其性质。通过这些核心内容，读者可以深入理解矩阵运算的特性。

矩阵运算规律总结

矩阵相乘结合律

$A (B C) = (A B) C$

矩阵相乘交换律

$\\ (A+B)C = AC + BC$

矩阵的逆

设 $A$ 为方阵，如果存在方阵 $A^{-1}$ 使得
$AA^{-1} = A^{-1}A = I$ 则方阵 $A$ 可逆， $A^{-1}$ 为 $A$ 的逆矩阵。方阵的逆若存在，则是唯一的，即一个方阵不可能有两个或以上的逆。如果方阵 $A$ 和 $B$ 均可逆，则其乘积 $A B$ 也可逆
$\begin{aligned} (AB)^{-1} =& \ B^{-1}A^{-1} \\ \\ (AB)^{-1}(AB) =& \ B^{-1}A^{-1}AB \\ =& \ B^{-1}(A^{-1}A)B （结合律）\\ =& \ B^{-1}IB \\ =& \ I \end{aligned}$ 三个（或多个）方阵乘积的逆
$\begin{aligned} (ABC)^{-1} =& \ C^{-1}B^{-1}A^{-1} \\ (A_1A_2 \dots A_n)^{-1} =& \ A_n^{-1} \dots A_2^{-1}A_1^{-1} \end{aligned}$
若方阵 $A$ 可逆，则方阵 $A$ 满足消去律，即
$\implies B=C$ 证明
$\implies A^{-1}AB = A^{-1}AC \implies IB=IC \implies B = C$

矩阵转置

矩阵相加的转置
$A + B)^T = A^T + B^T$

矩阵乘积的转置
$\begin{aligned} (AB)^T =& \ B^TA^T \\ (ABC)^T =& \ C^TB^TA^T \end{aligned}$
矩阵的逆和转置操作可以交换，即
$A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T$ 证明：
$A^T(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = I$ 所以 $A^{-1})^T$ 即是 $A^T$ 的逆，即
$A^{T})^{-1}=(A^{-1})^T$