对于一个图中是否存在一条哈密顿路,没有可靠的充分必要条件(貌似邻接矩阵恒式可以?),因此求哈密顿路是一个NP问题,一般要使用搜索和状压dp求解,但汉密尔顿回路的存在有许多充分条件,即当图满足某些特定性质的时候,汉密尔顿回路一定存在,而且可以根据一些算法构造出来。
1.Dirac定理:设一个无向图中有 N 个节点,若所有节点的度数都大于等于 N/2,则汉密尔顿回路一定存在。
(“N/2” 中的除法不是整除,而是实数除法,该条件中的 “N/2” 等价于 “⌈N/2⌉”)
证明:首先可以证明图一定是连通的。设 d(v) 表示节点 v 的度数。对于任意两个节点 u、 v,若它们不相邻,则可能和它们相邻的节点共有 N - 2 个,而 d(u) + d(v) ≥ N/2 + N/2 ≥ N,那么根据鸽巢原理,肯定存在一个节点与 u 和 v 都相邻。即证,任何两个节点之间都是连通的。
构造方法:
1. 任意找两个相邻的节点 S 和 T,在它们基础上扩展出一条尽量长的没有重复节点的路径。也就是说,如果 S 与节点 v 相邻,而且 v 不在路径 S → T 上,则可以把该路径变成 v → S → T,然后 v 成为新的 S。从 S 和 T 分别向两头扩展,直到无法扩为止,即所有与 S 或 T 相邻的节点都在路径 S → T 上。
2. 若 S 与 T 相邻,则路径 S → T 形成了一个回路。
3. 若 S 与 T 不相邻,可以构造出一个回路。设路径 S → T 上有 k + 2 个节点,依次为 S、 v1、 v2…… vk 和 T。可以证明存在节点 vi, i ∈ [1, k),满足 vi 与 T 相邻,且 vi+1与 S 相邻。证明方法也是根据鸽巢原理,既然与 S 和 T 相邻的点都在该路径上,它们分布的范围只有 v1 ∼ vk 这 k 个点, k ≤ N - 2,而 d(S) + d(T) ≥ N,那么可以想像,肯定存在一个与 S 相邻的点 vi 和一个与 T 相邻的点 vj, 满足 j < i。那么上面的命题也就显然成立了。找到了满足条件的节点 vi 以后,就可以把原路径变成 S → vi+1 → T → vi → S,即形成了一个回路。
4. 现在我们有了一个没有重复节点的回路。如果它的长度为 N,则汉密尔顿回路就找到了。如果回路的长度小于 N,由于整个图是连通的,所以在该回路上,一定存在一点与回路以外的点相邻。那么从该点处把回路断开,就变回了一条路径。再按照步骤1的方法尽量扩展路径,则一定有新的节点被加进来。接着回到步骤 2。
在整个构造过程中,如果说每次到步骤 4 算是一轮的话,那么由于每一轮当中,至少有一个节点被加入到路径 S → T 中来,所以总的轮数肯定不超过 N 轮。实际上,不难看出该算法的复杂度就是 O(N^2),因为总共扩展了 N 步路径,每步扩展最多枚举所有的节点。
证明:对n作归纳法。n=2时,D的基图为K2,结论成立。设n=k时结论成立。现在设n=k+1.设V(D)={v1,v2,…,vk,vk+1}。令D1=D-vk+1,易知D1为k阶竞赛图,由归纳假设可知,D1存在哈密顿通路,设Г1=v'1v'2…v'k为其中一条。下面证明vk+1可扩到Г1中去。若存在v'r(1≤r≤k),有<v'i,vk+1>∈E(D),i=1,2,…,r-1,而<vk+1,v'r>∈E(D),见图(1)所示,则Г=v'1v'2…v'r-1vk+1v'r…v'k为D中哈密顿通路。否则,i∈{1,2,…,k},均有<v'i,vk+1>∈E(D),见下图所示,则Г=Г'∪<v'k,vk+1>为D中哈密顿通路。

构造:可以依次从1~N遍历所有的点。当v=1时成立。之后根据上述定理,每次循环开始时都维持着一条哈密顿路,直到循环结束。具体实现可以用链表来模拟。
poj 1776 Task Sequences构造哈密顿通路
boolean map[][] = new boolean[maxn][maxn];
int nxt[]=new int[maxn],ans[]=new int[maxn];
void solve(int n){
Arrays.fill(nxt, -1);
int h=1;
for(int i=2;i<=n;i++)
if(map[i][h]){
nxt[i]=h;
h=i;
}
else{
int pre=h,pos=nxt[h];
while(pos!=-1&&!map[i][pos]){
pre=pos;
pos=nxt[pos];
}
nxt[pre]=i;
nxt[i]=pos;
}
int cnt=0;
for(int i=h;i!=-1;i=nxt[i])
ans[++cnt]=i;
}
void run() throws IOException{
while(in.nextToken()!=in.TT_EOF){
int n=(int)in.nval;
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
map[i][j]=(nextInt()==1);
solve(n);
System.out.println("1\n"+n);
for(int i=1;i<n;i++)
System.out.print(ans[i]+" ");
System.out.println(ans[n]);
}
}
判断哈密顿圈只需枚举起点,将构造方法稍作改动(注意只有一个点时特判),显然竞赛图有哈密顿通路不一定有哈密顿回路。
hdu 3414 Tour Route 构造哈密顿回路
boolean map[][] = new boolean[maxn][maxn];
int nxt[] = new int[maxn], ans[] = new int[maxn];
void solve(int start, int n) {
Arrays.fill(nxt, -1);
int h = start;
for (int i = 1; i <= n; i++){
if(i==start)
continue;
if (map[i][h]) {
nxt[i] = h;
h = i;
} else {
int pre = h, pos = nxt[h];
while (pos != -1 && !map[i][pos]) {
pre = pos;
pos = nxt[pos];
}
nxt[pre] = i;
nxt[i] = pos;
}
}
int cnt = 0;
for (int i = h; i != -1; i = nxt[i])
ans[++cnt] = i;
}
void run() throws IOException {
while (true) {
int n = nextInt();
if(n==0)
break;
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= n; j++)
map[i][j] = (nextInt() == 1);
if(n==1)
{
System.out.println(1);
continue;
}
boolean flag=true;
for (int k = 1; k <= n; k++) {
solve(k,n);
if(!map[ans[n]][ans[1]])
continue;
for (int i = 1; i < n; i++)
System.out.print(ans[i] + " ");
System.out.println(ans[n]);
flag=false;
break;
}
if(flag)
System.out.println(-1);
}
}
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