hdu 6021 MG loves string 子集容斥循环节

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本文介绍了一道关于字符串中字符变换的数学问题，探讨了如何计算字符变换次数的期望值乘以26^n，并给出了详细的解题思路及AC代码实现。

题目链接

题意：

一个字符串，每一个字符通过若干次变换可以变回自身（即每个字符都在一个环中）。

问变化次数的期望 * (26 ^ n), n为字符串的长度。

以

  
   2
  
  
   abcdefghijklmnpqrstuvwxyzo

为例，

有两种环，第一种A环长度为12，个数为1；第二种B环长度为1，个数为14

若两位均来自A环，则字符的选择有 12 * 12 种，需变换 lcm(12, 12) = 12 次，共 12 * 12 * 12

若两位均来自B环，则字符的选择有 14 * 14 种，需变换 lcm(1, 1) = 1 次，共 14 * 14 * 1

若分别来自A环与B环，则字符的选择有 14 * 12 种，需变换 lcm(12, 1) = 12 次，共 14＊12 * 12 * 2 (第一位第二位交换位置）

期望 * (26 ^ n) 即为上面的三部分求和

然后我就不会做了(。

然后就去百度了

先选择环的集合，再在选定的环的集合（基数为K）中选择元素（容斥原理，取K个集合相交的部分）（其中用快速幂处理）

一道很好的题目(。

参考：

http://www.7zhang.com/index/cms/read/id/296366.html（写得很清楚一看就明白惹，一开始看了各种文章看不明白理解力捉急的我Orz）

http://blog.youkuaiyun.com/luricheng/article/details/69367452（这篇也写得很棒）

AC代码如下：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <vector>
#include <map>
#define MAXN 40010
#define MAX 10100
using namespace std;
typedef long long LL;
int n, m, k, vis[30], loop[30];
const int MOD = 1e9 + 7;
vector<pair<int, int> > v;
vector<int> v2;
LL qpow(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ret = (ret * a) % MOD;
        a = (a * a) % MOD;
        b >>= 1;
    }
    return ret % MOD;
}
int GCD(int a, int b) {
    if (b == 0) return a;
    return GCD(b, a % b);
}
int LCA(int a, int b) {
    return a / GCD(a, b) * b;
}
int lca() {
    int ret = 1;
    for (int i = 0; i < v2.size(); ++i) ret = LCA(ret, v[v2[i]].first);// printf("v : %d ", v[v2[i]].first);
//    printf("\n");
    return ret;
}
void work() {
    scanf("%d", &n);
    char s[30];
    memset(vis, 0, sizeof(vis));
    memset(loop, 0, sizeof(loop));
    gets(s);
//    printf("%s\n", s);
    int a[30];
    for (int i = 0; s[i] != '\0'; ++i) a[i] = s[i] - 'a';
    for (int i = 0; i < 26; ++i) {
        if (vis[a[i]]) continue;
        int x = i, cnt = 1; vis[x] = true;
        while (a[x] != i) { x = a[x]; vis[x] = true; ++cnt; }
//        printf("%d ", cnt);
        ++loop[cnt];
    }
    v.clear();
    for (int i = 1; i < 27; ++i) {
        if (loop[i]) v.push_back(make_pair(i, i * loop[i]));
    }
    int setsnum = v.size();
    LL ans = 0;
    for (int i = 1; i < (1 << setsnum); ++i) {
        LL ans1 = 0;
        v2.clear();
        int cnt = 0;
        for (int j = 0; j < setsnum; ++j) {
            if (i & (1 << j)) {
                ++cnt;
                v2.push_back(j);
            }
        }
        if (cnt > n) continue;
        int setnum = v2.size();
//        printf("setnum : %d\n", setnum);
//        for (int j = 0; j < setnum; ++j) printf("%d ", v[v2[j]].second);
        ans1 = lca();
        LL ans2 = 0;
        for (int j = 1; j < (1 << setnum); ++j) {
            int sum = 0, cnt1 = 0;
            for (int k = 0; k < setnum; ++k) {
                if (j & (1 << k)) {
                    ++cnt1;
                    sum += v[v2[k]].second;
                }
            }
//            printf("sum %d\n", sum);
            if ((setnum - cnt1) & 1) ans2 = (ans2 + MOD - (LL)qpow(sum, n)) % MOD;
            else ans2 = (ans2 + (LL)qpow(sum, n)) % MOD;
        }
        ans1 = (ans1 * ans2) % MOD;
        ans = (ans + ans1) % MOD;
    }
    printf("%I64d\n", ans);
}
int main() {
//    freopen("in.txt", "r", stdin);
//    freopen("out.txt", "w", stdout);
    int T;
    scanf("%d", &T);
    while (scanf("%d", &n) != EOF) work();
    return 0;
}