动态维护数列的中位数

转自 http://blog.sina.com.cn/s/blog_455b20c10100fmmb.html

问题陈述：有个需要动态更新（插入或删除）的数列L，现在需要随时获取到该数列的中位数，请设计相应的数据结构和算法。

 

算法：令L的中位数为m，用一个大顶堆存储数列L中不大于m的元素（即L按从小到大排列时的前半部分），用一个小顶堆存储数列L中不小于m的元素（即L按从小到大排列时的后半部分），其中这两个大小顶堆均不包含中位数m。每次往数列L插入新元素x时，若x<m，则将其插入大顶堆，否则插入小顶堆。若插入新元素后导致m不再是中位数（即两个堆的元素数目相差2个或2个以上），则将当前的中位数m插入到元素数量较少的那个堆中，然后令元素数量较多的那个堆的堆顶元素为新的中位数，并从该堆顶元素从堆中删除。

 

分析：容易看出，以上算法中，读取当前中位数的时间复杂度为O(1)，插入和删除元素（包括调整堆）的时间复杂度为O(logN)。

 

发散：上述算法可以推广到解决维护数列的第k大（小）数的问题，只需要修改大、小顶堆的元素数目即可。

也可以用平衡树外加一个指针实时跟踪中位数变化，也是可以做到插入O(logn)，提取O(1)的。