运筹系列9:混合整数非线性规划扩展割平面法

本文详细介绍了混合整数非线性规划(MINLP)的概念,这是一种包含整数约束和非线性约束的优化问题。同时,深入探讨了扩展割平面法(ECP),一种通过逐步用线性约束替代非线性约束来解决MINLP问题的方法。该文还提供了扩展割平面法的具体求解步骤。

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1. 混合整数非线性规划

混合整数非线性规划,英文为Mixed-Integer NonLinear Programming (MINLP) ,指的是既包含整数约束,也包含非线性约束的优化问题。

2. 扩展割平面法

扩展割平面(Extended cutting plane,ECP)的思路是:使用线性约束来代替逐步代替非线性约束进行求解。
假设求解问题是:
min f(x,y)f(x,y)f(x,y)
s.t. g1(x,y)≤0g_1(x,y) ≤ 0g1(x,y)0(线性约束)
g2(x,y)≤0g_2(x,y) ≤ 0g2(x,y)0(非线性约束)

扩展割平面法的求解的步骤是:

  1. 求解去除非线性约束的松弛子问题
    min f(x,y)f(x,y)f(x,y)
    s.t. g1(x,y)≤0g_1(x,y) ≤ 0g1(x,y)0
  2. 假设上面结果为(x′,y′)(x',y')(x,y),对 g2(x,y)≤0g_2(x,y) ≤ 0g2(x,y)0中不满足的约束条件,添加割平面:
    g2(x′,y′)+g2′∣x(x′,y′)∗(x−x′)+g2′∣y(x′,y′)∗(y−y′)≤0g_2(x',y')+g_2'|_x(x',y')*(x-x') + g_2'|_y(x',y')*(y-y') ≤ 0g2(x,y)+g2x(x,y)(xx)+g2y(x,y)(yy)0
    然后再进行求解。
  3. 不断迭代,直到 g2(x,y)≤0g_2(x,y) ≤ 0g2(x,y)0所有约束条件都满足。
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