取样问题、洗牌算法

最新推荐文章于 2021-03-20 06:01:57 发布

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文章标签：取样问题洗牌算法

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《Programming Pearls 2th edition》第12章当中的"取样问题"非常有趣，现在摘录一些下来

洗牌算法，随机打乱一个0、1、2、...、n-1序列当中的数字

import random
def shuffle_1(x):
	for i in range(len(x)-1):
		j = random.randint(i, len(x)-1)
		x[i], x[j] = x[j], x[i]

这个算法可以理解为：n个人以1/n的概率竞选第1个位置，剩下的n-1个人以1/(n-1)概率获得第2个位置，……最后2个人以1/2机会获得第n-1位置。

保证了生成大小为n的全排列中每一个排列的机会是相等的。

取样问题：

p1 从n个数当中随机取m个数，每个数被选中的概率均等

特殊化，考虑m为1的情况

p2 从n个数当中随机选取m个数，每个大小为m的子集选中的概率均等

p3 从n个数当中随机选取m个数，每个大小为m的排列选中的概率均等

p4 从一列数字当中选取m个数，但是不知道数列的大小，每个数被选中的概率均等

特殊化，考虑 m为1的情况

解答：

def sample_1(x, m):
	n = len(x)
	if m >= n:
		return list(x)
	ret = []
	u = m
	w = n
	for i in range(n):
		if w == 0:
			break
		if random.randint(1, w) <= u:
			u -= 1			
			ret.append(i)
		w -= 1	
	return ret

u代表需要选取的数量，w代表列表中的备选数量。对于剩下来没有选中的数，以u/w的概率依次选取。因此每个数被选取的概率在剩下的数当中都是平等的。例如u=2, w=4，接下来的数有2/4的概率被选取。一旦被选取，接下来的一个数有1/3的概率获选；否则，有2/3概率。每一个局部的公平保持了整体的公平。

p2等价于p1

def sample_3(x, m):
	for i in range(m):
		j = random.randint(i, len(x)-1)
		x[i], x[j] = x[j], x[i]	
	ret = x[:m]
	return ret

这个算法可以理解为：n个人中找一个人以1/n机会获得第1个位置；剩下的n-1个人再找一个人以1/(n-1)的机会获取第2个位置；依此类推，直到前m个位置都有人选。此算法和洗牌算法的原理一致，只是洗牌算法中m等于n。

这个算法保证了从n个数中随机选取m个人，且m个人的排列是随机的

def sample_4(x, m):
        ret = []
        for i in range(len(x)):
                if len(ret) < m:
                        ret.append(x[i])
                elif len(ret) == m:
                        if random.randint(0, i) <= m:
                                j = random.randint(0, m-1)
                                ret[j] = x[i]
        return ret

x中前m个数先放到位置上。接下来的第i个数，以m/i的概率被选中。从已选的m个数当中选择一个数换出来。

这个算法保证了每个数都有相同的概率被选中。

从第m+1个数开始，选中后所处的位置也是随机的。但是前m个数如果中途没有被换出来，它们的位置不是随机的。

因此，此算法选出的数的排列不是随机的。需要开始对前m个数随机排序，才能得到随机的排序。

进一步阅读

《the Art of Computer Programming》第2卷第3章“随机算法”