幂律分布、泊松分布、指数分布、长尾分布的概念

   幂律分布（Power Law distruibition）:  

        Zipf定律与Pareto定律都是简单的幂函数,我们称之为幂律分布;还有其他形式的幂律分布,像名次- 规模分布、规模- 概率分布,这四种形式在数学上是等价的,其通式可写成

   

,其中x, y是正的 随机变量 ,c, r均为大于零的 常数 . 这种分布的共性是绝大多数事件的规模很小,而只有少数事件的规模相当大. 对上式两边取 对数 ,可知lny与lnx满足 线性关系 lny= lnc - rlnx,也即在 双对数坐标 （ log-log plot） 下,幂律分布表现为一条斜率为幂指数的负数的直线,这一线性关系是判断给定的实例中随机变量是否满足幂律的依据。

   

       判断两个随机变量是否满足线性关系,可以求解两者之间的相关系数;利用一元线性回归模型和最小二乘法,可得lny对lnx的经验回归直线方程,从而得到y与x之间的幂律关系式.在双对数坐标下的图形,由于某些因素的影响,前半部分的线性特性并不是很强,而在后半部分,则近乎为一直线,其斜率的负数就是幂指数。

   

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Poisson分布:  是一种统计与概率学里常见到的离散概率分布(discrete  probability distribution)，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松（Siméon-Denis Poisson）在1838年时发表。

 概率函数：

 

泊松分布的参数λ是单位时间(或单位面积)内随机事件的平均发生率。 泊松分布适合于描述单位时间内随机事件发生的次数。

泊松分布的期望和方差均为

   

特征函数为

 

    

在实际事例中，当一个随机事件，例如某电话交换台收到的呼叫、来到某公共汽车站的乘客、某放射性物质发射出的粒子、显微镜下某区域中的白血球等等，以固定的平均 瞬时速率 λ（或称密度）随机且独立地出现时，那么这个事件在单位时间（面积或体积）内出现的次数或个数就近似地服从泊松分布 P( λ)。因此,泊松分布在管理科学、运筹学以及自然科学的某些问题中都占有重要的地位。

 http://baike.baidu.com/view/79815.htm

幂函数（Power Function）：  形如y=x^α(α为常数）的 函数  。

指数分布：指数函数 exponential function===Memoryless Property 无记忆性. http://baike.baidu.com/view/743082.htm

指数分布虽然不能作为机械零件功能参数的分布规律，但是，它可以近似地作为高可靠性的复杂部件、机器或系统的失效分布模型，特别是在部件或机器的整机试验中得到广泛的应用。

指数分布的图形表面上看与幂律分布很相似，实际两者有极大不同，指数分布的收敛速度远快过幂律分布。

正态分布即高斯分布：normal distribution==gaussian distribution . :正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称因其曲线呈钟形，因此人们又经常称之为钟形曲线。

 若随机变量X服从一个数学期望为μ、方差为σ^2的正态分布，记为N(μ，σ^2)。其概率密度函数为正态分布的期望值μ决定了其位置，其标准差σ决定了分布的幅度。当μ = 0,σ = 1时的正态分布是标准正态分布。 http://baike.baidu.com/view/45379.htm

                                                                  正态分布图

长尾理论： http://baike.baidu.com/subview/327983/5047777.htm