快速幂，矩阵快速幂（模板）

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本文详细介绍了三种快速幂运算的方法：整数快速幂、含有取余的整数快速幂及矩阵快速幂，并提供了C++实现代码。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

1，整数快速幂：

 C++ Code 

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///快速幂 a^b
int qpow(int a,int b)
{
    if(a==0)
    return 0;
    int ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        ans*=a;///和快速乘法的区别
        b>>=1;///等价于b=b>>1和b=b/2;
        a*=a;///区别，同上
    }
    return ans;
}

2，含有取余的整数快速幂：

 C++ Code 

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#include <iostream>
using namespace std;

int pw(int x, int y, int p)
{
    if (!y)
    {
        return 1;
    }
    int res = pw((x * x) % p, y / 2, p);

    if (y & 1)   //判断奇偶性 y&1==1为奇数,反之为偶数
    {
        res = res * x % p;
    }
    return res;
}

int main()
{
    int x, y, p;
    cin >> x >> y >> p;
    cout << pw(x, y, p) << endl;
    return 0;
}

或者

 C++ Code 

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///a^b结果取余mod

int qpow_mod(int a,int b,int mod)
{
    if(a==0)
    return 0;
    int ans=1;
    while(b)
        {
        if(b&1)
        ans=(ans%mod)*(a%mod);///如果确定数据不会爆的话，可写成 ans*=a%=mod;
        b>>=1;a*=a%=mod;///等价于a=(a%mod)*(a%mod)，且将一个模运算通过赋值代替，提高了效率
    }
    return ans%mod;///数据不会爆的话，这里的%运算会等价于第5中不断重复的 ans%mod
}

///1.(a*b) mod M=(a mod M)*(b mod M) mod M;
///2.(a+b) mod M=(a mod M+b mod M) mod M;
///3.(a/b) mod M=(a*b^(M-2)) mod M;（费马小定理）

3，矩阵快速幂：

 C++ Code 

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#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;

int N;
///以3*3的矩阵为例
struct matrix
{
    int a[3][3];
} origin,res;

matrix multiply(matrix x,matrix y)
{
    ///矩阵乘法
    matrix temp;
    memset(temp.a,0,sizeof(temp.a));
    for(int i=0; i<3; i++)
    {
        for(int j=0; j<3; j++)
        {
            for(int k=0; k<3; k++)
            {
                temp.a[i][j]+=x.a[i][k]*y.a[k][j];
            }
        }
    }
    return temp;
}

void init()
{
    ///初始化，产生随机数
    printf("随机数组如下:\n");
    for(int i=0; i<3; i++)
    {
        for(int j=0; j<3; j++)
        {
            origin.a[i][j]=rand()%10;
            printf("%8d",origin.a[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
    memset(res.a,0,sizeof(res.a));
    res.a[0][0]=res.a[1][1]=res.a[2][2]=1;                  ///将res.a初始化为单位矩阵
}

void calc(int n)
{
    ///快速幂核心代码
    while(n)
    {
        if(n&1)
            res=multiply(res,origin);
        n>>=1;
        origin=multiply(origin,origin);
    }
    printf("%d次幂结果如下：\n",n);
    for(int i=0; i<3; i++)
    {
        for(int j=0; j<3; j++)
            printf("%8d",res.a[i][j]);
        printf("\n");
    }
    printf("\n");
}
int main()
{
    ///主函数
    while(cin>>N)
    {
        init();
        calc(N);
    }
    return 0;
}