编程之美-2.1-求二进制数中1的个数

题目：对于一个字节的无符号整形变量，求其二进制表示中“1”的个数，要求算法的执行效率尽可能高。

刚看到这个题，首先想到的就是对二进制数进行向移位操作，看末位是不是1。这个即为书中给出的第二种方案：

/* 方案2，移位操作*/ 
int Count(BYTE v){
    int num = 0;
    while(v){
        num += v & 0x01; //与000000001进行与操作，结果为1说明末位为1，num+1 
        v >>= 1;         //v向右移1位，直到变为全0 
    }
} 

该方案与方案1的核心思想差不多，用BYTE v去除以2，就是向右移1位，余数即为移出的位是0还是1，如果移出是1，则num+1。这种移位思想，算法复杂度为O(log2v)，即v的二进制表示的位数，如果v为10000000，就比较糟糕了，要算8次才能算完。如果复杂度只与v中的1的数量相关，就会好很多。

想到之前做的题目中http://blog.youkuaiyun.com/kimili1987/article/details/8034466，有一个是怎么判断一个数是2^n，事实上，这个数就是只有一个1。方法是，对于数v，判断v & (v-1)是否为0，为0的话则证明有一个1。据此进行扩展，如果有多个1的话，可以逐次使用该方法进行判断，每次会削减掉v中最高位的1，直至最后v为0，判断的次数则为总的1的数量。

/*方案3，判断1的数量*/
int Count(BYTE v){
    int num=0;
    while(v){
        v &= (v-1);     //每次与v-1做与操作，削减掉最高位的1 
        num ++;
    }
} 

方案5的思路很有意思，因为只是一个BYTE的整数，范围为0~255，索性预存一个256个数的数组countTable[256]，保存每个数对应的1的个数会是多少，例如countTable[8]=3，然后直接返回countTable[v]就可以得到1的个数了。时间复杂度O(1)，空间复杂度是最高的O(256)。这是一个典型的空间换时间的算法，实现虽简单，但是其给出的思想很重要：可以通过牺牲一定的空间，来换取高的时间效率！

扩展问题：

扩展问题1：如果变量v变为32位DWORD，那么使用哪种方案？

对于扩展问题1，当v变为DWORD的时候，方法5可能不太合适了，需要空间过于庞大。而方案3依旧非常适合。这一点也说明了一个算法对于输入数据的适应性问题。根据算法复杂度对哪些变量敏感，不同的算法对输入数据的适应性有所不同。

扩展问题2：给定两个正整数A，B。判断A和B中有多少位是不同的？

1）最直接的方式，A和B每一位都做异或操作，如果为1，num+1，复杂度O(较大位数{A,B})。

2）对A和B做异或，之后再数其中1的数量，Count(A ^ B)，复杂度O(1+A和B位数不同的数量)。

这是编程之美书中指出的一个童鞋给出的更好的一些解法

http://blog.youkuaiyun.com/justpub/article/details/2292823