异或运算

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异或运算

引入:

袋子里一共a个白球，b个黑球，每次从袋子里拿2个球，每个球每次被拿出机会均等

如果拿出的是2个白球、或者2个黑球，那么就往袋子里重新放入1个白球

如果拿出的是1个白球和1个黑球，那么就往袋子里重新放入1个黑球

那么最终袋子里一定会只剩1个球，请问最终的球是黑的概率是多少？用a和b来表达这个概率。

答案：

黑球的数量如果是偶数，最终的球是黑的概率是0%

黑球的数量如果是奇数，最终的球是黑的概率是100%

思路:

将白球视为0,黑球视为1
任何个0异或, 结果一定为0; 奇数个1异或, 结果为1; 偶数个1异或, 结果为0
2白2黑异或: 0 ^ 0 ^ 1 ^ 1 == 0 (白)
1白1黑异或: 0 ^ 1 == 1(黑)
---> 结果可以类比为: a个1和b个0异或
- 当b为偶数, 结果为0(全白)
- 当b为奇数, 结果为1(全黑)

1. 异或运算的性质

1）异或运算就是无进位相加

2）异或运算满足交换律、结合律，也就是同一批数字，不管异或顺序是什么，最终的结果都是一个

3）0 ^ n=n，n ^ n=0

4）整体异或和如果是x，整体中某个部分的异或和如果是y，那么剩下部分的异或和是x^y

x = a ^ b y = a -> b = a ^ b ^ a (a,b为部分异或和)

2. 相关题目

题目1 交换两个数
- 前提: 两个数位于不同的内存地址, 否则: a = arr[0] ^ arr[0] = 0(两值相同时会出错, 故知道该写法即可, 并不推荐)
- ```
int a = x,b = y;
a = a ^ b;// a = x ^ y
b = a ^ b;// b = x ^ y ^ y = x
a = a ^ b;// a = x ^ y ^ x = y
---> a == y, b == x
```

题目2 不用任何判断语句和比较操作，返回两个数的最大值

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思路
- 使用异或, c = a - b , 返回a的条件: a b 同号时,c > 0; a b 异号时, a < 0
- 当a b异号,c可能溢出, 因此需要转化为对a的判断

代码

    // 必须保证n一定是0或者1
    // 0变1，1变0
    public static int flip(int n) {
        return n ^ 1;// 返回0/1取反
    }

    // 非负数返回1
    // 负数返回0
    public static int sign(int n) {
        return flip(n >>> 31);// 无符号右移: 把符号位移动到最右侧, 返回符号位取反
    }

    // 添加了对ab符号的判断
    public static int getMax(int a, int b) {
        
        int c = a - b;// c可能是溢出的
        
        int sa = sign(a);// a的符号
        int sb = sign(b);// b的符号
        int sc = sign(c);// c的符号
        
        // 判断A和B，符号是不是不一样，如果不一样diffAB=1，如果一样diffAB=0
        int diffAB = sa ^ sb;
        // 判断A和B，符号是不是一样，如果一样sameAB=1，如果不一样sameAB=0
        int sameAB = flip(diffAB);
        
        int returnA = diffAB * sa + sameAB * sc;// 返回a: ab符号不同 且 a>0; ab符号相同 且 c > 0
        int returnB = flip(returnA);// 不返回b时就返回a
        return a * returnA + b * returnB;
    }

题目3 找到缺失的数字

测试链接 : . - 力扣（LeetCode）
思路
- 根据异或性质4, 缺失的数为所有数的异或和异或没有缺失的数的异或和

代码

public static int missingNumber(int[] nums) {
        int eorAll = 0, eorHas = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            eorAll ^= i;
            eorHas ^= nums[i];
        }
        eorAll ^= nums.length;
        return eorAll ^ eorHas;
    }

题目4 数组中1种数出现了奇数次，其他的数都出现了偶数次，返回出现了奇数次的数
- 测试链接 : . - 力扣（LeetCode）
- 思路
  - 全部跟0进行异或, 消除偶数个相同的数, 留下的就是那个奇数次的数
- 代码
  - ```
      public static int singleNumber(int[] nums) {
          int eor = 0;
          for (int num : nums) {
              eor ^= num;
          }
          return eor;
      }
```

Brian Kernighan算法 - 提取出二进制状态中最右侧的1
- int rightOne = eor1 & (-eor1);

题目5 数组中有2种数出现了奇数次，其他的数都出现了偶数次，返回这2种出现了奇数次的数

测试链接 : . - 力扣（LeetCode）
思路
- 首先用0异或所有数, 得到 a ^ b的结果, 由于 a != b, 结果中至少含有一位1
- 根据最右侧的1, 将所有数分为两类, 该位为1 和该位为0 的, 然后找其中一侧与0异或, 得到a 或 b
- 用异或总和(a ^ b) 异或第二次的异或和(a 或 b), 得到另一位数

代码

    public static int[] singleNumber(int[] nums) {// nums中有2种数a、b出现了奇数次，其他的数都出现了偶数次
        int eor1 = 0;
        for (int num : nums) {
            eor1 ^= num;// eor1 : a ^ b, 由于a b不同, eor1中至少有一位为1
        }
        
        // Brian Kernighan算法
        // 提取出二进制里最右侧的1
        int rightOne = eor1 & (-eor1);// !!! &
        
        int eor2 = 0;
        for (int num : nums) {
            // 假设rightOne = 0000 0100 则 rightOne只会与和最右侧1位置是0的相异或,即只与a/b异或
            if ((num & rightOne) == 0) {// 或!=0, 不能用==1 : 比如0000 0111 -> 0000 0100 == 4 != 1
                eor2 ^= num;
            }
        }
        return new int[] { eor2, eor1 ^ eor2 };
    }

题目6 数组中只有1种数出现次数少于m次，其他数都出现了m次，返回出现次数小于m次的那种数

测试链接 : . - 力扣（LeetCode）
思路
- 将数组中每一个数的每一位拆分出来, 相加, 放入cnts数组, 用以统计所有数中每一位1的个数
- 遍历cnts数组, 将每一个数 % m(其他数在数组中出现的个数), 不为0的那位说明在该位上所求数为1, 为0的说明在该位上所求数为0
- 将为1的每一位与ans异或, 放入ans中, 最终返回ans

代码

    public static int singleNumber(int[] nums) {
        return find(nums, 3);
    }

    // 更通用的方法
    // 已知数组中只有1种数出现次数少于m次，其他数都出现了m次
    // 返回出现次数小于m次的那种数
    public static int find(int[] arr, int m) {
        // cnts[0] : 0位上有多少个1
        // cnts[i] : i位上有多少个1
        // cnts[31] : 31位上有多少个1
        int[] cnts = new int[32];
        for (int num : arr) {// 遍历每一个数,计算这些数每一位上1的个数
            for (int i = 0; i < 32; i++) {
                cnts[i] += (num >> i) & 1;// 统计每一位上1的个数
            }
        }
        
        int ans = 0;
        for (int i = 0; i < 32; i++) {
            if (cnts[i] % m != 0) {
                // 若第i位出现1的次数不为m的倍数, 则所求数在该位上一定为1
                // 若第i位出现1的次数为m的倍数, 则所求数在该位上一定为0
                ans |= 1 << i;// (ans = ans | (1 << i)) 将不为0的那一位的1或进ans里
            }
        }
        return ans;
    }