gcd 与 lcm

题目描述： 

                                 

G - GCD & LCM

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Description

Given x and y (2 <= x <= 100,000, 2 <= y <= 1,000,000), you are   to count the number of p and q such that:

1) p and q are positive integers;

2) GCD(p, q) = x;

3) LCM(p, q) = y.

<b< body="">

Input

x and y, one line for each test.

<b< body="">

Output

Number of pairs of p and q.

<b< body="">

Sample Input

3 60

<b< body="">

Sample Output

4

 

 

题目大意：就是找出p*q=x*y，pq的对数。

用一个公式很好：(a/gcd  )* ( b/gcd)= lcm/gcd

这样子把lcm的数量级降下来了。而且

因为左边2块互质，这样子递归求解最大公约数时的层次走少了好几步。

 

program：

#include<iostream>
#include<stdio.h>
#include<string.h>
using namespace std;
int x,y;
int lg;
int gcd(int  a,int  b)
{
  if(a%b==0)return b;
  return gcd(b,a%b);   
}
void sswap(int & a,int & b)
{
  int tmp=a;
  a=b;
  b=tmp;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d",&x,&y)!=EOF)
{
      //最小公倍数一定能整除最大公约数!
      if(y%x!=0)
       {
            printf("0\n");
            continue;     
       }  
      lg=y/x; //(a/gcd  )* ( b/gcd)= lcm/gcd
      int a,b;
      int cnt=0;
      for(int i=1;i<=lg;i++)
      {
         a=i;
         if(lg%a==0)
            {
              b=lg/a; //把问题化为质数问题实在很棒
              if(a%2==0&&b%2==0)
                 continue;
              if(a<b)
                 sswap(a,b);
              
              if(gcd(a,b)==1)
                 cnt++;       
            }   
      }
     
       printf("%d\n",cnt);                                                
}
//system("pause");
return 0;}

 

总结：其实一个思想很重要：把求解的数转化成和质数有关来求解，因为质数相对合数少很多，所以这样处理问题范围减小很多！

另为什么验证素数的时候只需验证到该数的开方根呢？因为如果n可以被一个数整除，那么就必然有一个因子小于开方根，必然有一个因子大于开方根

 

因为i=a×b，a与b不能同时大于sqrt(i),为什么呢？如果a>sqrt(i),b>sqrt(i),于是a×b>sqrt(i)*sqrt(i)=i，因此就都不能整除i了！