NYIST 47 过河问题

过河问题

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难度： 5

描述

在漆黑的夜里，N位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，N个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，N人所需要的时间已知；而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题是，如何设计一个方案，让这N人尽快过桥。 

输入

第一行是一个整数T(1<=T<=20)表示测试数据的组数
每组测试数据的第一行是一个整数N(1<=N<=1000)表示共有N个人要过河
每组测试数据的第二行是N个整数Si,表示此人过河所需要花时间。(0<Si<=100)

输出

输出所有人都过河需要用的最少时间

样例输入

1
4
1 2 5 10

样例输出

17

算法思想：

假设有n个人，编号为0，1，2，……，n-1，每个人的过河时间为a[i]，且a[i]<a[i+1]（i=0，1，2，……，n-1）

可发现，该过桥的过程为一个迭代的过程，若用f(n)来表示最优解，那么当有k个人用时s（k）过桥后，并且手电筒又重新回到原来的一边时，f（n）=f（n-k）+s（k）

此外，每次过河时，应该过两个人，而送手电筒过河时，应该只过一个人

可发现，被浪费的时间花费总是在送手电筒的过程中，因此应当使这份时间最少，因而送手电筒的任务应该交给过桥时间最短的人来做，

若这个任务只交给0号来做，那么会出现一个问题，就是当另外一个人的过河时间a[t]远大于a[0]，则不划算，只是浪费时间

如n=4， a={1,2,6,7}时，

最优的顺序应为，先让1、2过河，1回来，然后6、7过河，然后2回来，最后1、2过河，用时2+1+7+2+2=14

可见，只让一个人送手电筒的方法不可取，因为一个较慢的人和另一个和他时间接近的人同时过河，可同时送两个较慢人过河，且费时相同。

到此可发现，因为最多一次过河两个人，因此可取k=2（此题可扩展为每次可过河n个人，此时k应取n），让0号和1号来送手电筒，那么剩下的就是s(k)的计算了。

假设0号和1号送k-1号和k号过河，则s(2)的计算方法如下：

一种为上述所示，0、1过河，然后0回，k-1、k过河，然后1过河，此时  f(n)=f(n-2) + a[1] + a[0] + a[k] + a[1]

另一种为0、k-1过河，0回，0、k过河，0回，f(n)=a[k-1] + a[0] + a[k] + a[0]

综上所述，

s(2)=a[0] + [k] + min( 2*a[1], a[0]+a[n-1] )

到此，答案已经非常明了了，经过迭代即可得到。AC代码如下：

#include <stdio.h>
#include <algorithm>
using namespace std;
int main()
{
    int t, n, a[1000];
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d", &n);
        for(int i=0; i<n; i++)
            scanf("%d", a+i);
        sort(a, a+n);
        int time=0;
        while(n>=4)
        {
            if(2*a[1]<a[n-2]+a[0])
                time+=a[1] + a[0] + a[1] + a[n-1];
            else
                time+=a[n-2] + a[0] + a[n-1] + a[0];

            n-=2;
        }
        if(n==3)time+=a[2] + a[0] + a[1];
        if(n<=2)time+=a[n-1];
        printf("%d\n", time);
    }
    return 0;
}