概率论与数理统计【一】- 随机事件与概率(1):古典概型与几何概型

本节为概率论与数理统计复习笔记的第一部分，随机事件与概率（一）：古典概型与几何概型，主要包括：古典概型和几何概型求概率。

1. 古典概型求概率

  称随机试验（随机现象）的概率模型为古典概型，若其基本事件空间（样本空间）满足：

• 只有有限个基本事件（样本点）
• 每个基本事件发生的可能性都一样

  若古典概型的基本事件总数为$n$，事件$A$包含$k$个基本事件，也称有利于$A$的基本事件为$k$个，则$A$的概率为：$P(A)=\frac{k}{n}$。

  $eg$(随机占位问题)：有五封信放入四个信箱，下列事件的概率为：

• 1.$A_1$：{第一、二号信箱各投入一封信}
• 2.$A_2$：{有一个信箱有三封信}
• 3.$A_3$：{仅有一个信箱没有信}
• 4.$A_4$：{第二个信箱没有信}

  解：

$P(A_1)=C_5^1{C}_4^1{2}^3/4^5=5/32$
$P(A_2)=C_4^1{C}_5^3{3}^2/4^5=45/128$
$P(A_3)=\frac{(C_4^1(C_3^1{C}_5^3{C}_2^1{C}_1^1+C_3^1{C}_5^1{C}_4^2{C}_2^2))}{4^5}=75/128$
$P(A_4)=3^5/4^5=243/1024$

2. 几何概型求概率

  称随机试验的概率模型为几何概型，若：

• 样本空间$\Omega$是一个可度量的几何区域
• 每个样本点发生的可能性都一样，即样本点落入$\Omega$的某一可度量子区域$S$的可能性与$S$的几何度量成正比，而与$S$的位置及形状无关。

  有：
$$P(A)=\frac{S_A的几何度量}{\Omega 的几何度量}$$

  $eg$(会面问题)：两人相约7点到8点之间到某地点会面，先到者等另一人20分钟就可以离去，求二人会面的概率。
  解：我们设一个人到达的时间为x，设另一人到达的时间为y，有$0\le x\le 60,0\le y\le 60$，绘制在平面直角坐标系中，是一个正方形区域，也就是上文对应的$\Omega$，二人会面成功，则要求$|x-y|\le 20$，在平面直角坐标系中，是一个不规则的带状区域，也就是上文提到的$S_A$，则最后结果为$S_A/\Omega$。

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