白话B样条曲线（一）

很多介绍B样条曲线的文章，上来就是给出了公式，让想学习新手云里雾里。有的即使已经用到程序中了，也不一定明白这个曲线构造的原理。这不该是一个有意思的事情该有的样子，本文试图通过一些普通的案例，带大家一步一步地走进B样条曲线。

首先，考虑下面的问题：给定二维平面上的一组点（X i，Y i），求横坐标为x的某点的y值。
抛开已有的各种方法，如果让你把这个当做一个新问题研究的话，你会如何考虑呢？
1、找一条函数曲线，经过这些给定点，或尽可能经过这些给定点的附近，然后把待求的x代入曲线方程，求出y。
但是这种方法不具有普适性。比如说你知道了这个曲线大概是个直线，就可以用最小二乘法拟合出一条直线。如果你不知道这些曲线的类型呢？
生活、工作中的很多事物的关系并不是这么简单的，可能是直线，可能是多项式，也可能是三角函、幂函数等等，还可能是多种函数的组合。
2、抛开已知类型的曲线类型，从概率统计的角度进行考虑。
我们知道给定点中的每个点都会对未知x的y值产生影响，那个每个点的影响有多大呢？这个影响该如何度量呢？
人们很直观的一个认识就是，距离这个x越近的x对它y值产生的影响越大。不妨用距离的倒数作为权值。

如果你想让这个距离的影响更大些，可以用距离倒数的高次幂来修改公式，如果你想让距离的影响自然平滑些，可以把距离倒数代入高斯正态分布曲线。
这种方法很淳朴自然，而且应用也很广泛，叫做反距离权重插值（IDW：Inverse Distance Weighted）。
这种方法简单、易用，而且万能，但普适的方法往往对于具体的问题并不是最优的。
比如说对于上面的问题，一个比较有名的方法就是克里金插值法（Kriging method）。这是以南非矿业的一个工程师名字命名的方法，也是地质统计学的核心。
相比反距离插值反距离插值 IDW，克里金插值公式更加抽象：

这里的 λi是权重系数。它同样是用空间上所有已知点的数据加权求和来估计未知点的值。但权重系数并非距离的倒数，而是能够满足点 (xo,yo)处的估计值与真实值 zo的方差最小的一套最优系数，即：
同时满足无偏估计的条件：

看似复杂，实际是对给定点又加了一些约束。类似最小二乘法去除离群点一样，这些约束也是为了使得离群点对预测点的影响最小。比如说在预测点附近刚好有个样本点，而这个样本点刚好采样误差很大，如果直接用距离的倒数作为权值会有很大偏差。
克里金插值法的具体原理就不介绍了，有兴趣的可以自己去研究。
这种加权的方法在其它很多地方也都有应用，比如说图像处理中的滤波：为了消除个别像素点的颜色深度太突兀，就听过它周边的一些点的像素深度对它进行修正，有取中值的，有取最大最小值的，有取均值的，有按照某些曲线按距离加权的。本质上这也是用已知点的信息对其它点进行影响。
以上算是引子吧，大家了解了一下这些插值拟合的背景，下面就该大聪明（数学家）出场了，让我们感受一下这些“大家”们是如何思考问题的。