39、多重积分的计算与应用

多重积分的计算与应用

1. 多重积分的基本计算

在多重积分的计算中，我们常常会遇到各种复杂的积分形式。例如，对于积分(\iint_{G} (d{x}^{3} + e{y}^{3} + \sqrt{d^{2} - {x}^{2}}) dA)，可以根据积分的可加性将其拆分为(\iint_{G} d{x}^{3} dA + \iint_{G} e{y}^{3} dA + \iint_{G} \sqrt{d^{2} - {x}^{2}} dA)。
- 当积分区域(G)关于(x)轴和(y)轴对称时，若函数(d{x}^{3})关于(x)是奇函数，(e{y}^{3})关于(y)是奇函数，那么(\iint_{G} d{x}^{3} dA = \iint_{G} e{y}^{3} dA = 0)。
- 而(\iint_{G} \sqrt{d^{2} - {x}^{2}} dA)表示的是在函数(z = \sqrt{d^{2} - {x}^{2}})的图像下方，矩形区域(G)上方的立体区域的体积，即一个半径为(d)，长度为(2e)的半圆柱的体积，其值为(\frac{1}{2} \cdot \pi r^{2}h = \frac{1}{2}\pi d^{2}(2e) = \pi d^{2}e)。所以(\iint_{G} (d{x}^{3} + e{y}^{3} + \sqrt{d^{2} - {x}^{2}}) dA = 0 + 0 + \pi d^{2}e = \pi d^{2}e)。

2. 极坐标下的二重积分

在处理二重积分时，选择合适的坐标系可以简化计算。极坐标在处理圆形或扇形区域的积分时非常有用。
- 若区域(U)可以用极坐标表示为(U = {(r, \theta