38、多重积分的深入解析与应用

多重积分的深入解析与应用

1. 多重积分基础

在多重积分的领域中，有一些基础的概念和性质需要我们深入理解。当我们将区域 (U) 划分为 (pq) 个子矩形时，对于任意样本点 ((x_{lm}, y_{lm})) 的选择，有 (\iint_U n \,dA \approx \sum_{l = 1}^{p} \sum_{m = 1}^{q} f(x_{lm}, y_{lm}) \Delta A)。特别地，当 (f(x_{lm}, y_{lm}) = n) 恒成立，且 (\sum_{l = 1}^{p} \sum_{m = 1}^{q} \Delta A) 等于区域 (U) 的面积，即 ((b - a)(g - f)) 时，无论我们如何选择样本点，都有 (\sum_{l = 1}^{p} \sum_{m = 1}^{q} f(x_{lm}, y_{lm}) \Delta A = n \sum_{l = 1}^{p} \sum_{m = 1}^{q} \Delta A = n(b - a)(g - f))。进而，(\iint_U n \,dA = \lim_{p,q \to \infty} \sum_{l = 1}^{p} \sum_{m = 1}^{q} f(x_{lm}, y_{lm}) \Delta A = \lim_{p,q \to \infty} n \sum_{l = 1}^{p} \sum_{m = 1}^{q} \Delta A = \lim_{p,q \to \infty} n(b - a)(g - f) = n(b - a)(g - f))。

另外，对于函数的取值范围，以 (\sin(\pi x)) 和 (\cos(\pi y)) 为例，在特定区间内有相应的取值范围。因为 (\sin(\