36、偏导数相关知识与应用详解

偏导数相关知识与应用详解

1. 流量分配问题

当遇到流量为 3400 ft³/s 的情况时，此流量不在之前确定的范围内，所以不能直接沿用之前的方法来进行最优分配。由于每个涡轮机都有容量限制，因此需要使用全部三个涡轮机。又因为 3400 小于三个涡轮机的最大组合容量 3445 ft³/s，所以仍需确定如何分配流量。

从相关图表可知，涡轮机 3 在高流量时发电最多，所以合理的做法是让涡轮机 3 达到其最大容量 1225 ft³/s，然后将剩余的 2175 ft³/s 流量分配给涡轮机 1 和 2。可以使用拉格朗日乘数法来确定最优分配方案，具体步骤如下：
1. 目标是在约束条件 (T_1 + T_2 = T_W)（其中 (T_W = 2175)）下，最大化 (NZ_1 + NZ_2)。
2. 等价于最大化函数 (i(T_1, T_2) = \frac{NZ_1 + NZ_2}{170 - 1.6 \cdot 10^{-6}T_W^2})。
3. 求解 (\nabla i(T_1, T_2) = \lambda \nabla j(T_1, T_2))，得到 (T_1 = 399.2647 + 1.1495T_2)。
4. 将其代入 (T_1 + T_2 = T_W)，解得 (T_2 \approx 1058.0)，进而 (T_1 \approx 1117.0)。但 (T_1) 的值大于涡轮机 1 的允许最大流量，这表明应让涡轮机 1 的流量达到最大。
5. 最终建议公司将涡轮机 1 和 3 的流量分配为其最大允许流量，即 1110 和 1225 ft³/s，剩余的 1065 ft³/s 分配给涡轮机 2。通过检查定义域内的附近分配情况，验证该分配方案为最优方