35、偏导数与拉格朗日乘数法相关知识解析

偏导数与拉格朗日乘数法相关知识解析

1. 偏导数与鞍点判断

在函数分析中，对于函数 (i(x,y))，若在某些路径趋近原点时函数值为正，而在其他路径趋近原点时函数值为负，那么函数在原点 ((0,0)) 可能存在鞍点。例如，当沿 (x) 轴趋近原点时，(y = 0)，此时 (i(x,0)=ax^{2})，其符号与 (a) 相同。为了确定鞍点，需要找到至少一条路径，使得 (i(x,y)) 的值与 (a) 的符号相反。当沿直线 (x =-\frac{b}{2a}y) 趋近原点时，(i(-\frac{b}{2a}y,y)=\frac{G}{4a}y^{2})，由于 (G\lt0)，这些值与 (a) 的符号相反，所以函数 (i) 在 ((0,0)) 处有鞍点。

另外，当函数 (i) 在 ((0,0)) 处的偏导数存在且 ((0,0)) 为临界点时，即 (i_x(0,0) = 0) 和 (i_y(0,0) = 0)，其二次泰勒多项式 (T(x,y)) 可表示为 (T(x,y)=\frac{1}{2}i_{xx}(0,0)x^{2}+i_{xy}(0,0)xy+\frac{1}{2}i_{yy}(0,0)y^{2})。这里 (T) 是一个抛物面，通过判别式 (G = i_{xx}(0,0)i_{yy}(0,0)-[i_{xy}(0,0)]^{2}) 可以判断其在 ((0,0)) 处的性质：
- 当 (G\gt0) 且 (i_{xx}(0,0)\gt0) 时，(T) 在 ((0,0)) 处有局部最小值；
- 当 (G\gt0) 且 (i_{xx}(0,0)\lt0) 时，(T) 在 ((0,0)) 处有局部最大值；
- 当 (G\lt0) 时，(T) 在 ((0,0)) 处有鞍点。 <