31、切线平面与线性近似相关知识解析

切线平面与线性近似相关知识解析

1. 切线平面方程的求解

1.1 基本公式与方法

对于函数 (z = f(x,y))，其在点 ((x_0,y_0)) 处的切线平面方程可以通过公式 (z - z_0=f_x(x_0,y_0)(x - x_0)+f_y(x_0,y_0)(y - y_0)) 来求解，其中 (z_0 = f(x_0,y_0))，(f_x) 和 (f_y) 分别是函数 (f(x,y)) 关于 (x) 和 (y) 的偏导数。

1.2 具体示例

以下是一些具体函数的切线平面方程求解示例：
| 函数 | (f_x(x,y)) | (f_y(x,y)) | 点 ((x_0,y_0)) | (f_x(x_0,y_0)) | (f_y(x_0,y_0)) | 切线平面方程 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| (z = 3y^2 - 2x^2 + x) | (-4x + 1) | (6y) | ((2,-1)) | (-7) | (-6) | (z + 3=-7(x - 2)-6(y + 1)) 即 (z=-7x - 6y + 5) |
| (z = 3(x - 1)^2+2(y + 3)^2 + 7) | (6(x - 1)) | (4(y + 3)) | ((2,-2)) | (6) | (4) | (z - 12 = 6(x - 2)+4(y + 2)) 即 (z = 6x + 4y + 8) |
| (z=\sqrt{xy}) | (\frac{1}{2}\sqrt{\frac{y}{x}}) | (\frac{1}{2}\sqrt{\frac{x}{y}}) | ((