26、弧长与曲率：理论、计算与应用

弧长与曲率：理论、计算与应用

1. 基础理论与向量函数性质

在向量函数的研究中，有几个重要的基础理论和性质。首先，对于向量函数 (r(w))，有如下推导：
- 对 (|r(w)|) 求导，(\frac{d}{dw}|r(w)|=\frac{d}{dw}[r(w)\cdot r(w)]^{\frac{1}{2}}=\frac{1}{2}[r(w)\cdot r(w)]^{-\frac{1}{2}}[2r(w)\cdot r’(w)]=\frac{1}{|r(w)|}r(w)\cdot r’(w))。
- 若 (r(w)\cdot r’(w) = 0)，则 (\frac{d}{dw}[r(w)\cdot r(w)]=\frac{d}{dw}|r(w)|^2 = 0)，这表明 (|r(w)|^2) 为常数，进而 (|r(w)|) 为常数，所以曲线位于以原点为中心的球面上。
- 对于 (u(w)=r(w)\cdot [r’(w)\times r’‘(w)])，其导数 (u’(w)=r’(w)\cdot [r’(w)\times r’‘(w)]+r(w)\cdot\frac{d}{dw}[r’(w)\times r’‘(w)])，经过化简可得 (u’(w)=r(w)\cdot [r’(w)\times r’‘’(w)])。
- 切线向量 (r’(w)) 定义为 (\lim_{k \to 0}\frac{r(w + k)-r(w)}{k})。当该极限存在且 (r’(w)\neq0) 时，此向量位于曲线的切线上。通过分析 (k) 的正负情况，可知无论 (k\gt0) 还是 (k\lt0)，差商 (\frac{r(w + k)-r(w)}{k}) 都指向 (w) 增加的方向，切线向量 (r’(w