20、向量与空间几何：深入解析向量运算与几何应用

向量与空间几何：深入解析向量运算与几何应用

1. 基本不等式与向量性质

• 三角形不等式 ：三角形中最长边的长度小于或等于另外两条边长度之和。通过公式推导：$|a + b|^2 = (a + b) \cdot (a + b) = |a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2 \leq |a|^2 + 2 |a| |b| + |b|^2 = (|a| + |b|)^2$，两边开平方可得$|a + b| \leq |a| + |b|$。
• 平行四边形法则 ：平行四边形对角线长度的平方和等于四条边长度的平方和。即$|a + b|^2 = |a|^2 + 2(a \cdot b) + |b|^2$，$|a - b|^2 = |a|^2 - 2(a \cdot b) + |b|^2$，两式相加得$|a + b|^2 + |a - b|^2 = 2 |a|^2 + 2 |b|^2$。
• 向量正交性质 ：若向量$u + v$和$u - v$正交，则$(u + v) \cdot (u - v) = 0$。经推导可得$|u|^2 - |v|^2 = 0$，进而得出$|u| = |v|$（因为$|u|, |v| \geq 0$）。

2. 向量叉积运算

• 叉积的计算 ：对于向量$a$和$b$，其叉积$a \times b$通过行列式计算。例如，若$a = \begin{vmatrix}i & j & k \ 6 & 0 & -