19、向量点积的深入解析与应用

向量点积的深入解析与应用

1. 向量运算的几何基础

1.1 向量加法的几何表示

在向量的几何运算中，三角形法则是基础。若向量 $\vec{a} = \overrightarrow{ST}$ 且 $\vec{b} = \overrightarrow{TU}$，那么 $\vec{a} + \vec{b} = \overrightarrow{SU}$。我们可以构造相似三角形来进一步理解向量的数乘运算。例如，构造 $\triangle SVW$ 使得 $\overrightarrow{SV} = f\vec{a}$ 且 $\overrightarrow{VW} = f\vec{b}$（这里 $f > 1$），根据三角形法则，$\overrightarrow{SW} = f\vec{a} + f\vec{b}$。由于 $\triangle STU$ 和 $\triangle SVW$ 相似（因为 $f\vec{b}$ 与 $\vec{b}$ 平行），所以 $\overrightarrow{SU}$ 和 $\overrightarrow{SW}$ 平行，且 $\overrightarrow{SW} = f\overrightarrow{SU}$，从而得出 $f\vec{a} + f\vec{b} = f(\vec{a} + \vec{b})$。

1.2 三角形中的向量关系

考虑 $\triangle DEF$，设 $G$ 和 $H$ 分别是 $DE$ 和 $EF$ 的中点。我们知道 $\overrightarrow{DE} + \overrightarrow{EF} = \overrightarrow{DF}$，且 $\overrightarrow{GE}