17、数学问题的深入解析与探讨

数学问题的深入解析与探讨

1. 高阶导数计算

计算函数 (i) 的 15 阶导数工作量巨大。关键在于利用麦克劳林级数，已知(\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots)，则(\sin(x^3) = x^3 - \frac{x^9}{3!} + \frac{x^{15}}{5!} - \cdots)。在麦克劳林级数中，(x^{15})的系数为(\frac{i^{(15)}(0)}{15!}=\frac{1}{5!})，所以(i^{(15)}(0)=\frac{15!}{5!}=6\times7\times8\times9\times10\times11\times12\times13\times14\times15 = 10897286400)。

2. 分段函数分析

对于函数(i(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{x^{2n}-1}{x^{2n}+1})，采用分类讨论的方法：
- 当(\vert x\vert\lt1)时，(0\leq x^2\lt1)，(\lim_{n\to\infty}x^{2n}=0)，则(i(x)=\frac{0 - 1}{0 + 1}=-1)。
- 当(\vert x\vert = 1)，即(x = \pm1)时，(x^2 = 1)，(i(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1 - 1}{1 + 1}=0)。
- 当(\vert x\vert\gt1)时，(x^2\gt1)，(\lim_{n\to\infty}x^{2n}=\infty)，(i(x)=\lim_{n\to\infty}\frac{1 - \frac{1}{x^