43、ECC2K-130在NVIDIA GPU上的实现与优化

ECC2K-130在NVIDIA GPU上的实现与优化

1. 多项式乘法

在处理128个独立输入时，代码借助128个线程完成特定任务，即进行128次131位多项式的独立乘法运算。这些多项式以位切片形式存储为4 × 131个32位字，并且尽可能地运用128个并行的32位操作。

1.1 128位多项式乘法

首先从相对简单的128位多项式乘法开始，采用了三级Karatsuba展开。每一级展开使用2n个异或（XOR）操作将一个2n位乘法扩展为三个n位乘法，之后使用5n - 3个异或操作来收集结果（采用了Bernstein的“改进Karatsuba”方法）。

三级Karatsuba展开最终产生27个16位多项式乘法。这些乘法的输入总共占用864位，几乎耗尽了每个131位乘法可用的1024位共享内存，但并未完全用完。

将用于16位多项式乘法的代码进行调度，使其适配67个寄存器，并将其并行应用于这27个乘法运算中，在32个线程里有5个线程处于空闲状态。在27xmult16子例程中，108个线程执行来自四个独立131位多项式乘法的108个16位多项式乘法。每个线程执行413条指令（其中350条为位操作指令，63条为加载/存储指令），总共执行44604条指令。

与之对比，如果采用两级Karatsuba展开，会产生9个32位乘法。对于32位乘法器，最佳的寄存器分配需要161个寄存器，这就需要额外将数据溢出到共享内存。

初始展开操作很容易实现并行化，将其在所有三级展开中进行合并，每个操作数按16位块进行操作，每个线程使用8次加载、19次异或和27次存储操作。

收集结果则相对复杂。在最高级别（第3级）