jzoj 3909. 【NOIP2014模拟11.1A组】Idiot 的乘幂(exgcd)

最新推荐文章于 2019-12-13 21:43:36 发布

OIerGH

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分类专栏：扩展欧几里得题解文章标签：数论扩展欧几里得

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/kerGH/article/details/81783547

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扩展欧几里得

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本文介绍了一种解决特定形式的同余方程组的方法，利用扩展欧几里得算法来找到解的存在性和具体解。通过计算逆元并利用快速幂运算，实现了对输入的多组测试数据的有效处理。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

这里写图片描述

Input

第一行一个正整数t，表示测试数据组数。
接下来t 行，每行五个正整数a、b、c、d、p，表示一组测试数据。

Output

一共t 行，第i 行表示第i 组测试数据的答案。若该组测试数据无解，则输出No Solution!，否则输出一个正整数x（1 <= x < p），表示同余方程组的解。

Sample Input

10
22 1 3 17 24
6 12 5 6 13
16 16 9 1 19
11 1 14 2 23
8 4 17 15 19
10 3 9 1 13
11 1 2 2 23
13 2 14 12 17
11 9 7 11 14
15 10 7 7 17

Sample Output

17
2
5
16
14
3
18
No Solution!
11
12

Data Constraint

这里写图片描述

Solution

我们看看 $x$ 可以怎么表示。
设 $ak_1+ck_2=gcd(a,c)=1$ ，这个可以通过扩展欧几里得求解。
那么我们可以得到
$x=xak1+ck1=(xa)k1×(xc)k2=bk1dk2x=x^{ak_1+ck_1}=(x^{a})^{k_1} \times (x^{c})^{k_2}=b^{k_1}d^{k_2}$

我们解出 $k_1,k_2，x$ 也就可以求出。
如果 $k_1,k_2$ 为负数，那么我们同样可以用扩展欧几里得求出 $b, d$ 的逆元，再求 $x$ 。

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define LL long long 
using namespace std;
LL a,b,c,d,p;
LL ksm(LL x,LL y) {
	if (y==0) return 1;
	if (y==1) return x;
	LL z=ksm(x,y/2);z=(z*z)%p;
	return (y%2==0)?z:((z*x)%p);
} 
LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y)
{
	if(b==0)
	{
		x=1;y=0;return a;
	}
	LL r=exgcd(b,a%b,x,y);
	LL z=x;
	x=y;y=z-a/b*y;
	return r;
}
void work(){
	LL i,j,k;
	scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&a,&b,&c,&d,&p);
	LL x,y;
	exgcd(a,c,x,y);
	LL ans=0;
	if (x<0) {
		LL x1,y1;
		exgcd(b,p,x1,y1);
		ans=ksm((x1+p)%p,-x);
	}else ans=ksm(b,x);
	if (y<0) {
		LL x1,y1;
		exgcd(d,p,x1,y1);
		ans*=ksm((x1+p)%p,-y);
	}else ans*=ksm(d,y);
	ans%=p;
	if (ksm(ans,a)%p==b && ksm(ans,c)%p==d) printf("%lld\n",ans);
	else printf("No Solution!\n");
}
int main() {
	LL t;scanf("%lld",&t);
	while(t--) work();
}