取数游戏

题目描述:

Alice想让Bob陪他去看《唐山大地震》,但由于Bob是个很感性的人,怕流泪不想去,但又不好意思以这个作为拒绝的理由,便提出玩一个游戏。
  N个正整数围成一圈,规则如下:
  •两个玩家轮流取数;
  •最开始先手的玩家可以取任意一个数x;
  •从第二步开始当前玩家只能取x(上一玩家刚刚取的数)左右两边相邻的数;
  •直到取完所有的数,游戏结束;
  •取得较多奇数的玩家获胜。
  Bob为了显示大度,让Alice先取,但他忘了自己和Alice都是绝顶聪明之人,现在Alice请你帮他计算第一步有多少种取法使得最终获得胜利。
  


输入:

 第一行包含一个整数N(1<=N<=100),表示数的个数。第二行包含N个正整数,每个数都在1到1000之间,任意两个数互不相同。
样例输入1:
3
3 1 5
样例输入2:
4
1 2 3 4
样例输入3:
8
4 10 5 2 9 8 1 7


输出:

输出Alice第一步有多少种取法。
样例输出1:
3
样例输出2:
2
样例输出3:
5


分析:

Alice和Bob都是绝顶聪明的人,那不就两个人都会走最优策略?要打博弈搜索?有点麻烦,想别的方法。
貌似在取走第一个数以后,这一个环就变成了一串数了:
这里写图片描述
那么题目就变成了每一次取一串数中头或尾的一个,求先取的人可以取最多奇数的个数。
f[l,r]表示在lr这个区间中先手可以取到的最多奇数,s[l,r]表示在lr这个区间中奇数的个数,很容易就可以得到方程:

f[l,r]=s[l,r]+min(f[l+1,r],f[l,r+1])

枚举每一次取的第一个数,dp就可以了。
时间复杂度(n3


怎么搞:

因为是一个环,所以要把输入的数据a[i]复制一次到a[i+n]。
预处理出s,dp即可;


CODE:

#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using  namespace std;
int n;
int a[301];
int f[301][301];
int s[301][301];
int min(int a,int b)
{
    if (a<b) return(a); else return(b);
}
int main()
{
    int i,j,k,max;
    int ans=0;
    scanf("%d",&n);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        scanf("%d",&a[i]);
        a[i+n]=a[i];
    }
    for (i=1;i<=2*n;i++)
        for (j=1;j<=2*n;j++)
        {
            s[i][j]=0;
            for (k=i;k<=j;k++)
            {
                s[i][j]+=a[k]%2;
            }
        }
    for (k=1;k<=n;k++)
    {
        memset(f,0,sizeof(f));
        for (i=1;i<=n*2;i++) f[i][i]=a[i]%2;
        for (i=k+n-1;i>=k+1;i--)
            for (j=i+1;j<=k+n-1;j++)
            {
                f[i][j]=s[i][j]-min(f[i+1][j],f[i][j-1]);
            }
        if(s[k+1][k+n]-f[k+1][k+n-1]>f[k+1][k+n-1])
        {
            ans++;
        }
    }
    printf("%d",ans);
    return 0;
}
### 关于矩阵游戏的算法解题思路与编程实现 #### 问题描述 在一个二维矩阵中,玩家可以从任意位置开始移动,每次可以向上下左右四个方向之一移动一格。每经过一个单元格,就收集该单元格中的值作为分,并且这个单元格被标记为已访问过。目标是在不超过指定步的情况下获得尽可能高的总分。 #### 解决方案概述 为了有效地解决问题,采用动态规划(DP)方法来记录到达每一个可能状态的最大得分。通过这种方式可以在合理的时间内计算出最优路径上的最大累积值[^1]。 #### 动态规划的状态转移方程 设`dp[i][j][k]`表示从起点出发,在第`k`步时位于坐标`(i, j)`处能够得到的最大分,则有: \[ dp[i][j][k]=\max(dp[x][y][k-1])+matrix[i][j], \] 其中 `(x,y)` 是上一步的位置,满足 `|x-i|+|y-j|=1` 的条件即相邻关系;初始状态下所有 `dp[*][*][0] = matrix[*][*]`. 考虑到边界情况以及越界处理等因素的影响,实际编码过程中还需要加入额外判断逻辑以确保程序健壮性[^2]. #### 编码实践 (Python 实现) ```python def max_score(matrix, K): n = len(matrix) m = len(matrix[0]) # 初始化DP表 dp = [[[float('-inf')]*K for _ in range(m)] for __ in range(n)] # 设置起始点 for i in range(n): for j in range(m): dp[i][j][0] = matrix[i][j] directions = [(0,-1), (-1,0), (0,+1), (+1,0)] # 进行动态规划迭代更新 for step in range(1,K): for x in range(n): for y in range(m): for dx, dy in directions: nx, ny = x + dx, y + dy if 0<=nx<n and 0<=ny<m : dp[x][y][step] = max(dp[nx][ny][step-1]+matrix[x][y], dp[x][y][step]) result = float("-inf") for i in range(n): for j in range(m): result = max(result,max(dp[i][j])) return result if result != float("-inf") else None ``` 此代码片段实现了上述提到的方法论,利用三维列表模拟了不同时间片下的最佳策略择过程,并最终返回最高可获的成绩。
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