斐波那契数列的--------5种算法（又称“兔子数列”）

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#算法

于 2023-01-26 06:30:48 首次发布

本文介绍了斐波那契数列（又称兔子数列）的五种计算方法，包括循环法、递归法、动态规划法、快速矩阵幂以及通项公式。循环法和动态规划法时间复杂度均为O(n)，但动态规划法通过滚动数组可优化空间复杂度至O(1)。递归法的时间复杂度为O(2^n)，而快速矩阵幂利用矩阵乘法和快速幂算法，能在O(logn)的时间内求解。通项公式通过解特征方程得出，提供了另一种求解思路。

斐波那契数列（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在数学上，斐波那契数列以如下被以递推的方法定义：F(0)=0，F(1)=1, F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)（n ≥ 2，n ∈ N*）

一、循环法：

// n 太大会溢出，可以使用数据位更宽的数据类型
func fib(n int) int {
   
   
	if n == 1 || n == 2 {
   
   
		return 1
	}
	f1 := 1
	f2 := 1
	res := 0  //存放结果 
	for i := 3; i <= n; i++ {
   
   
		res = f1 + f2
		f2 = f1
		f1 = res
	}
	return res
}

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

二、递归法：

根据递推公式：F(n)=F(n - 1)+F(n - 2)可直接得出

func fib(n int) int {
   
   
	if n < 2 {
   
   
		return n
	}
	return fib(n-1) + fib(n-2)
}

在这里插入图片描述

时间复杂度：因为成二叉树形式，所以时间复杂度为O(2^n)
空间复杂度：树约有n-1层,所以空间复杂度为O(n)

三、动态规划法：

确定 dp数组以及下标的含义：dp[i] 的定义为：第 i 个数的斐波那契数值是 dp[i]
确定递推公式：题⽬已经把递推公式直接给我们了：状态转移⽅程 dp[i] = dp[i - 1] + dp[i - 2]
初始化dp数组： dp[0] = 0， dp[1] = 1
确定遍历顺序： dp[i] 是依赖 dp[i - 1] 和 dp[i - 2] ，所以遍历的顺序是从前到后遍历

func fib(n int) int {
   
   
	if n < 2 {
   
   
		re

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