二叉树(性质、存储、遍历、建立)

最新推荐文章于 2021-11-05 20:10:49 发布

Kelly Fu

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分类专栏：数据结构 C++

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本文详细探讨了二叉树的性质，包括第i层最多叶子数、节点数量公式以及完全二叉树的深度计算。接着介绍了二叉树的存储方式，比较了顺序存储和链式存储的优缺点。最后，阐述了二叉树的遍历方法，如递归遍历的前序、中序和后序，以及层次遍历，并提及了二叉树遍历在实际问题中的应用，如建立树结构和计算深度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

二叉树性质

二叉树第i层叶子数最多为 $2^{i-1}$
深度为i的二叉树的节点数最多为 $2^{i}-1$
在二叉树中, 叶子数为 $n_{0}$ , 度为2的节点数为 $n_{2}$ , 则满足 : $n_{0} = n_{2}+1$ 证明: $n_{0} + n_{1} + n_{2} = n_{0} * 0 + n_{1} *1 + n_{2} * 2 +1$
n个节点的完全二叉树的深度为 $⌊log2n⌋+1\left\lfloor log_{2}n\right\rfloor+1$ , 证明利用节点为n的二叉树满足: $2k−1−1<n≤2k−12^{k-1} -1< n \leq 2^{k}-1$ .
满二叉树一定是完全二叉树, 反之不成立.
对于一个完全二叉树编号, 编号1 的为根节点, 对于编号为i的节点, 如果 $2 i < = n$ , 存在i的左子节点; 若 $2 i + 1 < = n$ ,存在i的右子节点. 对于节点i来说, 它的父节点为 $⌊i2⌋\left\lfloor \frac{i}{2}\right\rfloor$ .

二叉树的存储

顺序存储

思路: 利用完全二叉树的节点关系, 对于一般的二叉树, 补全为完全二叉树.
但是对于一些情况(如左、右斜偏二叉树),会有很多空间的浪费.

链式存储

解决顺序浪费空间问题.

1. 二叉链表

typedef struct BiTreeNode{
  ElemType data;
  struct BiTreeNode *lchild,*rchild;
}BiTreeNode, *BiTree;

 2.  三叉链表(多了父节点指针)

typedef struct BiTreeNode{
  ElemType data;
  struct BiTreeNode *lchild,*rchild, *parent;
}BiTreeNode, *BiTree;

二叉树的遍历

递归遍历

前序遍历

void PreOrder(BiTree bt) {
  if(bt != NULL) {
    cout << bt->data;
    PreOrder(bt -> lchild);
    PreOrder(bt -> rchild);
  }
}

中序遍历

void InOrder(BiTree bt) {
  if(bt != NULL) {
    InOrder(bt->lchild);
    cout << bt->data;
    InOrder(bt->rchild);
  }
}

后序遍历

void LaOrder(BiTree bt) {
  if(bt != NULL) {
    LaOrder(bt->lchild);
    LaOrder(bt->rchild);
    cout << bt->data;
  }
}

层次遍历

void layerOrder(BiTree bt) {
  queue<BiTreeNode*> q;
  if(bt != NULL) {
    q.push(bt);
    BiTreeNode* tmpNode;
    while(!q.empty()) {
      tmpNode = q.front();
      q.pop();
      cout << tmpNode->data;  //操作
      if(tmpNode -> lchild != NULL) q.push(tmpNode -> lchild);
      if(tmpNode -> rchild != NULL) q.push(tmpNode -> rchild);
    }
  }
}

二叉树遍历应用

利用前序和中序建立树

void PreInOrder(ElemType *PreOrder, int pStart, int pEnd, ElemType *InOrder,int iStart, int iEnd,BiTree *bt){
  (*bt) = new BiTreeNode;
  (*bt) -> data = PreOrder[pStart];
  int i = iStart;
  while(PreOrder[pStart] != InOrder[i]) i++; // 找到中序中的位置, 便于划分左右子树
  if(i == iStart) (*bt)->lchild = NULL;
  else PreInOrder(PreOrder,pStart + 1, pStart + i - iStart, InOrder, iStart , i-1, &((*bt)->lchild) );

  if(i == iEnd) (*bt)->rchild = NULL;
  else PreInOrder(PreOrder,pStart + i - iStart + 1,pEnd, InOrder,i+1,iEnd,&((*bt)->rchild));

}

计算叶子节点

//计算叶子节点
int countLeaf(BiTree bt) {
  if(bt == NULL) return 0;//空树
  if(bt->lchild == NULL && bt->rchild == NULL) return 1;
  return countLeaf(bt->lchild) + countLeaf(bt->rchild);
}

计算深度

//计算深度
int countDeep(BiTree bt) {
  if(bt == NULL) return 0;
  if(bt->lchild == NULL && bt->rchild == NULL) return 1;
  else return countDeep(bt->lchild) > countDeep(bt->rchild)? countDeep(bt->lchild)+1:countDeep(bt->rchild)+1;
}

创建二叉树

//创建二叉树
void createBiTree(ElemType *PreOrder,ElemType *InOrder,int n,BiTree *bt) {
  if(n <= 0 ) (*bt) = NULL;
  PreInOrder(PreOrder, 0, n-1, InOrder, 0, n-1, bt);
}