计算机是如何计算乘法除法的（实际上都是转换为二进制加法计算）

http://blog.youkuaiyun.com/blues1021/article/details/42849183

前言

• 虽然我们在编程语言中可以直接使用+-/，但是对某些要求不能用/的情况下，我们有必要了解一下计算机是怎样完成乘除法的。
• 首先，我们要明确一下计算机所能完成的最基本操作是：+（-）和左移右移。虽然ISA中一般都有MUL类指令，但是这些经过译码之后最终的元操作还是加法和移位指令。

乘法实现

• 我们知道在计算机中只有0和1，于是，就有了二进制计数，比如5 = 101. 抽象的说，任何一个数均可以表示为如下式子： 
   
  所以其他数乘以X，就变成了如下式子： 
   
  这就是计算机做乘法的原理。因为对于计算机而言，左移一位代表乘以2，右移一位代表除以2。所以，对于a乘以x而言，只是将a左移x为1的位并累加即可。

举例说明：5*3

1. 3=0011（不用分解，计算机就是这么存储的）
2. 3的第0位1,5左移0位仍为0；
3. 3的第一位为1，5左移1位为5*2 = 10
4. 然后将其累加，得到最后结果15.

代码如下：

//没有考虑传入数太大，导致溢出的情况。只做简单说明
int getBits(int num){
    int numLen = 0;
    while(num){
        numLen++;
        num = num>>1;
    }
    return numLen;
}

int getIndexBit(int num,int pos){//获取从右到左的第pos位置的值1/0
    int index = 1<<pos;
    if((num&index)>>pos)
        return 1;
    else
        return 0;
}
int getBit(int num,int pos){//获取从右到左的第pos位置的值1/0
    pos = pos-1;
    return getIndexBit(num,pos);
}
int multi(int multi1,int multi2){
    bool minus = false;
    if(multi2<0){
        minus = true;
        multi2 = -multi2;
    }
    int length = getBits(multi2);
    int index = 0;
    int base = multi1;
    int sum = 0;

    while(index<length){
        int val = getBit(multi2,index+1);
        if(val)
            sum+=(base<<index);
        index++;
    }
    if(minus)
        return -sum;
    return sum;
}

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除法实现

除法实现起来要比乘法难一点，因此，让我们首先从人的角度来计算一下除法的实现。

人类计算除法

当我们在计算51/3=17，抛开9*9乘法表。

1. 从被除数的最高位5开始，从0-9选一个数，使得5-i*3>=0且使5-（i+1)*3<0。我们选择了1. 余数为2.
2. 将余数*10+1=21,继续从0-9中选一个数，使得21-3*i>=0且使5-（i+1)*3<0，我们选择了7.
3. 由此，我们找到了答案17。

计算机计算除法

计算机计算除法的过程与人类计算的过程很类似，只是选择范围变成了0或1. 
还以51/3为例说明（51：110011；3:11）

1. 从第一位开始为1，小于11，结果位置0；余数为1
2. 从第二位开始，余数*2+1=11，等于11，结果位置1，余数为0；
3. 从第三、四位开始，余数*2+0=0<011,结果位置0，余数为0
4. 从第5位开始，余数*2+1=1<11，结果置0，余数为1
5. 从第6位开始，余数*2+1=11=11，结果置1，余数为0.

此时将结果位相连，恰好是10001（17）

 

 

乘法：被分解为左移累加。

除法：被分解为右移累减去，减法可以转换为加法。

浮点数的运算：

S x 2(^F) x M

浮点数是原码表示法，S符号位，F阶码 + 127， M尾数舍弃前面的1（如果F<=-127则小数最前是0也要舍弃，后面补上0,F会变为-126)。

F阶码用的表示法是偏移码(无符号整型表示，并不是书本说的移码，阶码加减运算的时候，应该用了寄存器处理，不是移码运算，因为位数都不够）。

浮点数加减：阶码对齐; 尾数加减，处理溢出，规格化即可。

浮点数乘除：无符号阶码偏移码加减运算，应该是转换为真值后，进行了有符号补码的运算，得到结果，而不是进行了移码的运算（因为移码运算得不到正确的结果);尾数进行整数乘除，得到结果处理溢出，规格化即可。

 

计算机乘法除法原理(原码)

  (2013-12-04 16:09:30)

转载▼

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分类： 软件技术规范

1.乘法
由于计算机中，所有数值都是用2的N次方来表示的:2^n0+2^n1+2^n2+2^n3+2^n4.....
因此x*y,(x)*(2^n0+2^n1+2^n2+2^n3+2^n4)=(x*2^n0)+(x*2^n1)+(x*2^n2)+(x*2^n3)+(x*2^n4)+......即(x左移n0)+(x左移n1)+(x左移n2)+(x左移n3)+(x左移n4)+......

用15(x)*13(y)来举例，15*13 为1111*1101
a.首先y的最低位为1(2^0)，x左移0位得到1111
b.然后y的最低第二位为0，没有2^1存在，因此本次无运算(结果可以看作为0)
c.然后y的最低第三位为1(2^2)，x左移2位得到111100
d.然后y的最低第四位为1(2^3)，x左移3位得到1111000
e.把a、b、c、d的结果相加1111+0+111100+1111000=11000011(195),该结果就是乘法的结果

特别的，x*y中，如果y是2的N次方，因此相当于x右移N位。

2.除法(加减交替法)
x/y其实就是，x不断减y的过程。小学时候学的长长除法就是这个原理。
用二进制的除法x/y，比十进制容易写，商不是0即是1，而且如果除数大于除数的1倍，商就是标记在另一个位上面了

二进制除法x/y=0.1001/0.1011手工计算如下
            0.11  
       _______
0.1001/0.1001
         10010(后面补0)
         -1011
        ------
           111(余数)
           1110(后面补0)
          -1011
        --------
              1(余数)
              
设ri表示第i次运算后所得的余数,则：
若ri>0，则商1，余数和商左移1位，再减去除数，即ri+1=2ri-y
若ri<0，则商0，余数和商左移1位，再加上除数，即ri+1=2ri+y

用85/6来举例,85/6=1010101/110
a.101(0101)左移1位到第3位都小于110，因此商=000
b.1010(101)左移四位是1010,比110大，商=0001,余数=1010-110=100(101)
c.余数100(101)左移一位是1001,比110大，商=00011,余数=1001-110=11(01)
d.余数11(01)左移一位是110,等于110，商=000111,余数=0(1)
e.余数0(1)左移一位是01,小于110,商=0001110,余数=01

因此85/6=1010101/110=0001110，即14，余数为最后的余数1