算法分析中，为什么分析最坏情况而不是平均情况

最新推荐文章于 2025-06-30 20:57:38 发布

Tiger-Li

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本文探讨了算法的时间复杂度分析，特别是在关注实时性的场景下，如何选择使用平均复杂度还是最坏情况复杂度进行评估。通过具体例子说明了不同场景下对算法的要求差异。

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作者：知之
链接：https://www.zhihu.com/question/28713446/answer/41845297
来源：知乎
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于什么时候用平均，什么时候用最坏，It depends。

那些对实时性没什么要求的情形，用平均复杂度就OK了
比如在实验室用某个算法分析1千万条数据，我们关心的是总共花多少时间，所以只需要知道算法的平均时间复杂度就够了。

但是对那些实时性要求非常高的地方，必须分析最坏情况的复杂度。
比如比如汽车防抱死系统，差10毫秒就是人命关天，时间就是生命。

电信中主管网络损坏，需要在50毫秒之内倒换到备份网络之中，否则可能有成千上万个通话中断，损失重大，至于航天系统，实时的重要性要求不言而喻。

这个时候，你跟我说你的算法平均情况是很快的，但是某些情况很慢？那肯定不能用，因为这些某些情况很慢会导致巨大的损失。这些情况下必须把最坏情况的复杂度控制在某个阈值之下，至于平均复杂度处于次要位置。

---------------------------原答案---------------------------------
谁说不分析平均情况了？
比如经典的快排算法，我们既要知道它最坏情况的时间复杂度为 O(n^2)

,
也要知道它在平均情况下时间复杂度为 $O(n\log n)$
并且在大多数情况下，快排时间复杂度为 $c\times n \log n$ 中的系数c相对其它几个同为 $O(n \log n)$ 的算法来说是较小的，所以大家才常用它。（比如Java#Arrays.sort对基本类型用的就是改进过的快排算法）。

有时，多次试验的期望复杂度（平均情况）才是我们关心的

期望复杂度=最坏情况的概率 * 最坏情况的复杂度 + 一般情况的概率 * 一般情况的复杂度

假如对长度为n的数组做多次某种操作，耗时 n^2 纳秒的概率p， $n\log_2 n$ 纳秒的概率1-p

期望复杂度= $O(p n^2+ (1-p)n\log_2 n)$ = $O(pn^2 + n\log_2 n)$ (1)

对p分情况分析：

1.如果p是常量，时间复杂度是 O(n^2)
2.如果p与n正相关，由于p的上限是1，n增大p会趋近于1，时间复杂度是 O(n^2)
3.如果p与n负相关， $O(p) > O( \frac {\log_2 n}{n})$ ，代入(1)， $O(n\log_2 n)$ < 复杂度 < O(n^2)
4.如果p与n负相关， $O(p) = O( \frac {\log_2 n}{n})$ ，代入(1)，复杂度= $O(n\log_2 n)$
5.如果p与n负相关， $O(p) \leq O( \frac {\log_2 n}{n})$ ，代入(1)，复杂度< $O(n\log_2 n)$