洛谷P2389 电脑班的裁员

最新推荐文章于 2025-06-16 14:39:53 发布

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本文介绍了一种分组动态规划问题的解决方法，并通过优化减少空间复杂度。使用三维数组记录中间状态，再逐步减少至二维，最终实现一维数组完成相同功能，显著降低内存消耗。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

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解法：
我们设 $f[ i ][ j ][ 0/1 ]$ 表示将前 i 个人分成 j 组，不保留/保留 i 的最大得分和。若不保留 i ，则当前状态等于 i-1 保留/不保留，分成 j 组的最大得分和（没有保留 i，可以看做分组没有断开）；若保留 i ，则当前状态等于保留 i-1，分成 j 组和不保留 i-1，分成 j-1 组（i 保留而 i-1 没有保留，分组断开）的最大值加上 i 的得分。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int n,m,ans,f[N][N][2];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;scanf("%d",&x);
        for(int j=1;j<=min(i,m);j++)
        {
            f[i][j][0]=max(f[i-1][j][0],f[i-1][j][1]);//不保留i时的转移
            f[i][j][1]=max(f[i-1][j-1][0],f[i-1][j][1])+x;//保留i时的转移
        }
    }
    ans=max(f[n][1][0],f[n][1][1]);
    for(int i=2;i<=m;i++)ans=max(ans,max(f[n][i][0],f[n][i][1]));//答案取所有的最大值
    printf("%d\n",ans);return 0;
}

优化：
我们会发现 i 的所有状态都只从 i-1 的相应状态转移过来，所以我们可以像01背包的优化那样，省掉一维，优化一下空间。代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=510;
int n,m,ans,f[N][2];
int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;scanf("%d",&x);
        for(int j=min(i,m);j>0;j--)//注意j是从大到小，因为更新f[i][j]要用到f[i-1][j-1]，不能覆盖掉
        {
            f[j][0]=max(f[j][0],f[j][1]);
            f[j][1]=max(f[j-1][0],f[j][1])+x;//转移是一样哒
        }
    }
    ans=max(f[1][0],f[1][1]);
    for(int i=2;i<=m;i++)ans=max(ans,max(f[i][0],f[i][1]));
    printf("%d\n",ans);return 0;
}