数论——基础概念

——FROM 《Introduction to Algorithm》

整除性与约数：

我以前很容易把“除”和“除以”相混淆。记住a除b是b/a，a除以b是a/b。
而a整除b就是b =k*a(k为某个整数)。记作a|b
如果a|b且a>=0，那么称a是b的约数。

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素数与合数：

• 素数：
  如果一个整数a>1且只能被平凡约数1和它自身所整除，则这个数是素数。
• 合数：
  如果一个整数不是素数且大于1，则称为合数。
  1即不是素数也不是合数，同样，整数0和所有负整数既不是素数也不是合数。
  

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除法定理、余数、等模：

除法定理：对于任何整数a和任何正整数n，存在唯一整数q和r，满足0 <= r < n且a = qn+r。
称q = ⌊a/n⌋为除法的商，r = a mod n 为除法的余数。 n|a当且仅当a mod n = 0。

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公约数与最大公约数

• 公约数：
  如果d是a的约数并且d也是b的约数，那么d就是a和b的公约数。

  • 性质：
    d|a 且 d|b 蕴含着d|(a+b) 且 d|(a-b)。
    更一般地，对于任何整数x和y，有d|a 且 d|b 蕴含着 d|(ax+by)。

• 最大公约数：
  两个不同时为0的整数a与b的公约数中最大的称为其最大公约数。记作gcd(a,b)。

  • 性质：
    1.gcd(a,b) = gcd(b,a)
    2.gcd(a,b) = gcd(-a,b)
    3.gcd(a,b) = gcd( |a| , |b| )
    4.gcd(a,0) = |a|
    5.gcd(a,ka) = |a| 对任意k∈Z
    定理：如果任意整数a和b不都为0，,则gcd(a,b)是a和b的线性组合集{ax+by: x,y∈}中的最小正元素。
    推论1：对任意整数a与b，如果d|a且d|b，则d|gcd(a,b)。
    推论2：对任意整数a与b以及任意非负整数n，有gcd(an,bn) = n gcd(a,b)。
    

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互质数：

如果两个整数a和b的公约数只有1，即gcd(a,b)=1，则a与b称为互质数。

• 性质：
  
  • 对于任意整数a、b和p，如果gcd(a,p)=1且gcd(b,p)=1，则gcd(ab,p)=1。
  • 如果a与b互为质数，那么a+b 和 a*b 也互为质数。
    

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唯一因子分解定理：

对于所有素数p和所有整数a,b，如果p|ab，则p|a或p|b（或两者都成立）。
定理：
合数a仅能以一种方式写成如下乘积形式：
a = p1^e1 * p2^e2 * … * pr^er（其中pi为素数，p1 < p2 < … < pr，且ei为正整数）