DP经典应用（四）二维最长上升子序列问题——矩形嵌套问题

矩形嵌套问题

问题描述：输入多个矩形的长和宽。矩形X(a,b)可以嵌套在矩形Y(c,d)中当且仅当a < c,b < d或者b < c,a < d，任务是选出尽可能多的矩形排成一行，使得除了最后一个之外，每一个矩形都可以嵌套在下一个矩形内求出最多嵌套矩形的个数。

注意加粗的一段话，就要求我们必须先排序。

样例输入：

1
10
1 2
2 4
5 8
6 10
7 9
3 1
5 8
12 10
9 7
2 2

样例输出：

5

---

分析：

这个问题是不是和最长递增子序列的问题十分类似。
只不过这个子序列的数不只是一个数，而是长和宽罢了。
所以只要会转换一下就十分简单了。

依然按照分析动态规划的3个步骤：
按照3个步骤：

• 1.刻画最优解结构特征：
  定义dp[i]为以第i个矩形pi为末尾的整个矩形序列中能够被嵌套的最多数目

• 2.递归地定义最优解的值：
  以第i个矩形pi为末尾元素的序列是：
  1.只包含第i个矩形pi的序列
  2.如果满足j < i 并且 pj.l < pi.l && pj.w < pi.w这个条件的以pj为末尾的序列末尾再加上pi后得到的新序列。
  这两者之一。
  所以得到此递推式：
  dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1) (j < i 且 pj.l < pi.l && pj.w < pi.w)

• 3.计算最优解的值（递推）
  代码如下：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 100;

struct P{
    int l,w;
}p[maxn];

int max(int a,int b)
{
    return a>b?a:b; 
}
int min(int a,int b)
{
    return a<b?a:b; 
}

int cmp(const P& a,const P& b)
{
    if(a.l<b.l) return 1;
    else if(a.l==b.l&&a.w<b.w) return 1;
    else return 0;  
}

int dp[maxn];
int main()
{
    int T;
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    { 
        int n;
        scanf("%d",&n);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            int a,b;
            scanf("%d%d",&p[i].l,&p[i].w);
            a = max(p[i].l,p[i].w);
            b = min(p[i].l,p[i].w); 
            p[i].l = a; p[i].w = b;//长大于宽
        }
        sort(p,p+n,cmp);
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            dp[i] = 1;
            for(int j=0;j<=i;j++)
            {
                if(p[j].l<p[i].l&&p[j].w<p[i].w)
                {
                    dp[i] = max(dp[i],dp[j]+1); 
                }
            }
        }
        int ans=dp[0];
        for(int i=0;i<n;i++)
        {
            if(ans<dp[i])
            ans = dp[i];    
        }
        printf("%d\n",ans); 
    }
    return 0;       
}