求KMP算法的next[j]

数据结构——求KMP算法的next[j]

一、next[j] 函数定义如下

二、模式串为：abababb，设模式串第一个字符的下标为0

三、求next[j]的第一种方法——前缀后缀最大公共元素长度法

1、j = 0，p = a，前缀后缀最大公共元素长度 = 0

● 无前后缀

2、j = 1，p = ab，前缀后缀最大公共元素长度 = 0

● 前缀：a

● 后缀：b

●  a != b

3、j = 2，p = aba，前缀后缀最大公共元素长度 = 1

● 前缀：a，ab

● 后缀：a，ba

● a == a，ab != ba

4、j = 3，p = abab，前缀后缀最大公共元素长度 = 2

● 前缀：a，ab，aba

● 后缀：b，ab，bab

● a != b， ab == ab，aba != bab

5、j = 4，p = ababa，前缀后缀最大公共元素长度 = 3

● 前缀：a，ab，aba，abab

● 后缀：a，ba，aba，baba

● a == a， ab != ba，aba == aba，abab != baba

6、j = 5，p = ababab，前缀后缀最大公共元素长度 = 4

● 前缀：a，ab，aba，abab，ababa

● 后缀：b，ab，bab，abab，babab

● a != b， ab == ab，aba != bab，abab == abab，ababa != babab

7、j = 6，p = abababb，前缀后缀最大公共元素长度 = 0

● 前缀：a，ab，aba，abab，ababa，ababab

● 后缀：b，bb，abb，babb，ababb，bababb

● a != b， ab != bb，aba != abb，abab != babb，ababa != ababb，ababab != bababb

8、综上所述，模式串abababb 各个子串的前缀后缀最大公共元素长度为：

因此，将「最大公共元素长度」行的元素整体向右移动，第一个位置填上-1，即求得next[j]

※ 当然，向右平移后的操作是根据j的初始值决定的

※ 这里，j的初始值是0

※ 如果j的初始值 > 0，则模式串向右平移后，对应的next[j]中的每个值都要加上j的初始值，才是最终的next[j]

※ 第四版的《软件设计师教程》的这部分计算有误

四、求next[j]的第二种方法——公式代入法

1、由于模式串的第一个字符的下标为0，即j 的值从0开始，依次为 0、1、2、3、4、5、6

2、当 j = 0时，根据 next[j] 函数 的定义可知，此时 next[0] = -1

3、当 j = 1 时，不满足①号情况，看②号

● max{k | 0 < k < j且"p0 …… pk-1" = " pj-k …… pj-1"}

● 该函数的意思是：取k满足 0 < k < j && "p0 …… pk-1" = " pj-k …… pj-1" 条件时的最大的值

● 由于 j = 1，则 k 必须满足 0 < k < 1 才行，但是k必须是正整数，因此不满足条件，即不满足 ② 号情况

● 因此，当 j = 1时，属于③ 号情况，即：next[1] = 0

4、当 j = 2 时，不满足① 号情况，看②号

● 由于 j = 2，此时 0 < k < 2，k 可能满足条件的取值只有1，看后面的条件

● p0 代表 模式串中的第一个字符a，p0p1 代表ab，p0p1p2p3p4p5p6 代表 abababb，即模式串本身

● 因此，根据j 和k 的取值，可得到以下情况

●  j = 2, k = 1，则：p0  = p1 ，由模式串可知，该条件不满足，②号 不满足，属于③ 号情况，即：next[2] = 0     

5、当 j = 3时，不满足① 号情况，看②号

● 当j = 3时，0 < k < 3，k 可能满足条件的取值有{1，2}

● 依次遍历 k 的取值，并组合 j 的值

● j = 3，k = 1时，p0  = p2根据模式串可知为true

● j = 3，k = 2时，p0p1 = p1p2  根据模式串可知为false

● 因此 next[3] = 1

6、当 j = 4时，不满足① 号情况，看②号

● 当j = 4时，0 < k < 4，k 可能满足条件的取值有{1，2，3}

● 依次遍历 k 的取值，并组合 j 的值

●  j = 4，k = 1时，p0  = p3根据模式串可知为false

●  j = 4，k = 2时，p0p1  = p2p3根据模式串可知为true

●  j = 4，k = 3时，p0p1p2  = p1p2p3根据模式串可知为false

● 因此，情况② 存在一个k的值满足条件，即 k = 2，因此 next[4] = 2

7、 当 j = 5时，不满足① 号情况，看②号

● 当j = 5时，0 < k < 5，k 可能满足条件的取值有{1，2，3，4}

● 依次遍历 k 的取值，并组合 j 的值

●  j = 5，k = 1时，p0  = p4根据模式串可知为true

● j = 5，k = 2时，p0p1  = p3p4根据模式串可知为false

● j = 5，k = 3 时，p0p1p2  = p2p3p4根据模式串可知为true

● j = 5，k = 4 时，p0p1p2p3  = p1p2p3p4根据模式串可知为false

● 当k = 1 和 k = 3 时，公式都满足，取max{1，3}后， next[5] = 3

8、当 j = 6时，不满足① 号情况，看②号

● 当j = 6时，0 < k < 6，k 可能满足条件的取值有{1，2，3，4，5}

● 依次遍历 k 的取值，并组合 j 的值

●  j = 6，k = 1时，p0  = p5根据模式串可知为false

● j = 6，k = 2时，p0p1  = p4p5根据模式串可知为true

●  j = 6，k = 3时，p0p1p2  = p3p4p5根据模式串可知为false

●  j = 6，k = 4时，p0p1p2p3  =p2 p3p4p5根据模式串可知为true

● j = 6，k = 4时，p0p1p2p3p4  = p1p2p3p4p5根据模式串可知为false

● 当k = 2 和 k = 4 时，公式都满足，取max{2，4}后， next[6] = 4

9、因此， next[j] = [-1，0，0，1，2，3，4]