蓝桥杯之幸运数

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问题描述: 
幸运数是波兰数学家乌拉姆命名的。它采用与生成素数类似的“筛法”生成。

 首先从1开始写出自然数1,2,3,4,5,6,…. 1 就是第一个幸运数。 

我们从2这个数开始。把所有序号能被2整除的项删除,变为: 
1 _ 3 _ 5 _ 7 _ 9 …. 
把它们缩紧,重新记序,为: 
1 3 5 7 9 …. 。这时,3为第2个幸运数,然后把所有能被3整除的序号位置的数删去。注意,是序号位置,不是那个数本身能否被3整除!! 删除的应该是5,11, 17, … 
此时7为第3个幸运数,然后再删去序号位置能被7整除的(19,39,…) 
最后剩下的序列类似: 
1, 3, 7, 9, 13, 15, 21, 25, 31, 33, 37, 43, 49, 51, 63, 67, 69, 73, 75, 79, …

输入格式: 
输入两个正整数m n, 用空格分开 (m < n < 1000*1000)

输出格式: 
程序输出 位于m和n之间的幸运数的个数(不包含m和n)。

样例输入1 
1 20 
样例输出1 

样例输入2 
30 69 
样例输出2 
8

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
using namespace std;
int a[1000001];
int main()
{
    int i,j,m,n;
    cin>>m>>n;
    for(i=1;i<=n;i++)
        a[i]=1; //初始化为1;
    for(i=1;i<=n;)
    {
        int t=i;//删除能被t整除的序号位置,同时它也是幸运数;
        if(t==1)
          t=2;//t等于1时特殊处理下即可;
        int ct=0;
        for(j=1;j<=n;j++)
        {
            if(a[j]==1)
               ct++;//计算前面数字个数
            if(ct==t)//当数字个数符合要求时,标记为0;即相当于删去它;
            {
                a[j]=0;
                ct=0;
            }
        }
        while(a[++i]==0)//找到第一个不为0的数;
              ;
    }
    int sum=0;
    for(i=m+1;i<n;i++)if(a[i])sum++;
    cout<<sum<<endl;
    return 0;
}


### 蓝桥杯竞赛中的幸运题目及其解法 #### 题目描述 蓝桥杯竞赛中有一类经典问题涉及“幸运”的定义与求解。通常情况下,“幸运”是指仅由特定质因组成的整集合,比如只含因子3、5和7的正整序列[^1]。 这类题目可能会要求参赛者找到满足条件的第N个幸运或者统计一定范围内的幸运量。例如,在给定范围内找出所有可以表示为 \(3^i \times 5^j \times 7^k\) 的值,并按升序排列[^4]。 --- #### 解法分析 针对此类问题,常见的解决方法有以下几种: 1. **暴力枚举法** 使用三重循环遍历指 \(i, j, k\) 的组合来生成所有的可能值 \(3^i \times 5^j \times 7^k\),并筛选出小于等于指定上限的所有幸运。这种方法虽然简单易懂,但在处理较大范围的据时效率较低。 下面是一个基于Python实现的例子: ```python cnt = 0 limit = 59084709587505 lucky_numbers = [] for i in range(50): for j in range(50): for k in range(50): value = (3**i) * (5**j) * (7**k) if value <= limit: lucky_numbers.append(value) else: break # 去除重复项并对结果排序 lucky_numbers = sorted(set(lucky_numbers)) print(len(lucky_numbers)) # 输出幸运量 ``` 2. **优先队列/堆结构优化** 利用最小堆(Min Heap)动态生成下一个幸运,从而避免不必要的冗余计算。具体来说,可以从初始值1开始逐步扩展当前已知的幸运集合并加入新的候选值到堆中[^2]。 Python代码如下所示: ```python import heapq heap = [1] seen = set([1]) factors = [3, 5, 7] result = [] while len(result) < N: # N为目标幸运的位置 current = heapq.heappop(heap) result.append(current) for factor in factors: next_value = current * factor if next_value not in seen: seen.add(next_value) heapq.heappush(heap, next_value) print(result[-1]) # 找到第N个幸运 ``` 3. **位运算加速** 如果目标是快速判定某个字是否属于幸运,则可以通过预处理的方式构建一个布尔组标记所有符合条件的索引位置。然而此策略适用于较小规模的问题实例[^3]。 --- #### 注意事项 - 对于非十进制输入的情况,需先将其转换至标准形式再做进一步操作。 - 当面对多组测试样例时应考虑整体性能开销,尽量减少重复劳动以提升运行速度。 ---
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