8、统计估计与近似贝叶斯方法：理论与应用

统计估计与近似贝叶斯方法：理论与应用

在统计学和机器学习领域，估计和推断是核心问题。准确估计随机变量的期望、方差等参数，以及计算后验分布，对于做出合理决策至关重要。然而，在实际应用中，精确计算往往面临挑战，因此需要各种近似方法。本文将深入探讨估计理论中的不等式、近似贝叶斯方法，以及顺序抽样的相关内容。

1. 估计理论中的不等式

在估计一个随机变量的期望时，我们常常需要对估计误差进行界定。以下是几种重要的不等式：
- 马尔可夫不等式 ：对于随机变量 (X)，若其期望为 (E X = \mu)，(\bar{x} t) 是 (t) 次观测后的经验均值，则 (P(|\bar{x}_t - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{E |\bar{x}_t - \mu|}{\epsilon})。当 (X \in [0, 1]) 时，有 (P(|\bar{x}_t - \mu| \geq \epsilon) \leq \frac{1}{\epsilon})。但该不等式随着观测次数 (t) 的增加，界不会改善。
- 切比雪夫不等式 ：设随机变量 (X) 的期望为 (\mu = E X)，方差为 (\sigma^2 = V X)，则对于所有 (k > 0)，有 (P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq k^{-2})。应用到样本均值估计器上，若样本均值 (\bar{x}_t) 的期望为 (\mu)，方差为 (\frac{\sigma_x^2}{t})，则 (P(|\bar{x}_t - \mu| \geq k\frac{\sigma_x}{\sqrt{t}}) \